Asymptoty pionowe liczymy najprościej mówiąc w "dziurach" dziedziny. Tutaj taką "dziurą" jest 0, sprawdzę zatem co się dzieje z funkcją z prawej i lewej strony tej "dziury".
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^-}(\frac12x-\frac{4}{x}+3)=[0+\infty+3]=\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}(\frac12x-\frac{4}{x}+3)=[0-\infty+3]=-\infty[/tex]
Zatem w x=0 mamy asymptotę pionową obustronną.
Teraz sprawdzimy czy funkcja ma asymptotę ukośną korzystając ze wzoru [tex]y=ax+b[/tex], gdzie [tex]a=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}[/tex] i [tex]b=\lim_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-ax)[/tex]. Dodam też, że w tej sytuacji normalnie sprawdzałbym co się dzieje gdy [tex]x \to -\infty[/tex] ale dziedzina zaczyna się od 3 więc nie interesuje mnie to.
[tex]a=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}((\frac12x-\frac{4}{x}+3)(\frac{1}{x}))=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2-4\cdot2+6x}{2x}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+6x-8}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2(1+\frac{6}{x}-\frac{8}{x^2})}{x^2\cdot2} =\frac12[/tex]
[tex]b=\lim_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-ax)=b=\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac12x-\frac{4}{x}+3-\frac{1}{2}x)=3[/tex]
Więc [tex]y=\frac12x+3[/tex].
Mamy zatem asymptotę pionową obustronną w x=0 i asymptotę ukośną [tex]y=\frac12x+3[/tex] gdy [tex]x \to +\infty[/tex]
W razie pytań pisz :D
