Odpowiedź:
V = Pp • H = 27√3/2 • 6/√3 = 27 • 6/2 = 27 • 3 = 81 (jednostek długości)³
Szczegółowe wyjaśnienie:
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny (równoboczny), który
składa się z 6 - ciu trójkątów równobocznych, każdy o boku a = 3.
Pole trójkata równobocznego obliczymy ze znanego wzoru:
P = a²√3/4 = 3²√3/4 = 9√3/4 to
Pole podstawy Pp = 6P = 6 • 9√3/4 = 27√3/2 to Pp = 27√3/2
Pokazana na rysunku przekątna sześciokąta zawiera dwa boki trójkąta
równobocznego, więc długość przekątnej wynosi 6.
Wysokość graniastosłupa H (przyprostokątna pionowa leżąca na
przeciw kąta 30º) obliczymy z funkcji tangensa:
H/6 = tg 30º = 1/√3 /•6 to H = 6/√3
II metoda obliczenia wysokości graniastosłupa H:
[zminiłem oznaczenie:, wysokość graniastosłupa, małe "h" zamieniłem na duże "H", ponieważ małe "h" - oznacza teraz wysokość trójkąta równobocznego]
Pokazany na rysunku trójkąt prostokątny o kącie 30º, to drugi kąt tego
trójkąta przy wierzchołku wynosi 60º - ten trójkąt prostokątny jest
połową trójkąta równobocznego, bo wysokość h trójkąta
równobocznego dzieli trójkąt na połowę, bok podstawy trójkąta na polowę oraz kąt wierzcholkowy 60º na dwa kąty po 30º.
Wysokość h tego trójkąta równobocznego jest teraz jednocześnie
poziomą przekątną szesciokąta: h = 6.
Skorzystamy teraz ze znanego wzoru na wysokość trójkąta
równobocznego o boku a, h = a√3/2 = 6 to a√3/2 = 6 /•(2/√3)
to a = 12/√3 to teraz wysokość graniastosłupa H jest połową
boku trójkąta równobocznego a, to
H = (1/2)a = (1/2)•12/√3 to H = 6/√3
[jeżeli II metoda jest zbyt długa i skomplikowana - to proszę pozostać przy "tg 30º" - a II metoda może pozostać w zadaniu jako możliwy wariant rozwiązania]
Objętość graniastosłupa V obliczamy z iloczynu pola podstawy Pp i
wysokości H, to: Odpowiedź:
Objętość tego graniastosłupa wynosi
V = Pp • H = 27√3/2 • 6/√3 = 27 • 6/2 = 27 • 3 = 81 (jednostek długości)³
[√3 się skróciło]
