Odpowiedź:
[tex]\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{32}{3}\right)^2=\dfrac{10280}{9}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początku ustalmy jaką postać ma funkcja. Zakładam, że:
[tex]f(x)=\dfrac{16\cdot x^2+1}{x}[/tex]
Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma wzór:
[tex]y=a\cdot x[/tex]
Musimy obliczyć współczynnik [tex]a[/tex]. Policzmy punkty przecięcia funkcji i prostej.
[tex]\dfrac{16\cdot x^2+1}{x}=a\cdot x\\\\16\cdot x^2+1=a\cdot x^2\\(16-a)\cdot x^2+1=0[/tex]
prosta jest styczną jeśli ma jeden punkt wspólny z wykresem funkcji f. Czyli delta musi być równa zero.
[tex]\Delta=0^2-4\cdot (16-a)\cdot 1=4\cdot(a-16)\\\Delta = 0 \quad\implies\quad a=16[/tex]
więc styczna ma równanie:
[tex]y=16\cdot x[/tex]
---
Poszukajmy punktów przecięcia tej znalezionej stycznej z parablolą.
[tex]3x^2+12x-12=16x\\3x^2-4x-12=0\\\Delta = (-4)^2-4\cdot3\cdot (-12)=160\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}[/tex]
Obliczmy odcięte punktów przecięcia stycznej z parabolą:
[tex]x_A=\dfrac{4-4\sqrt{10}}{6}=\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}\\x_B=\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}[/tex]
oraz ich rzędne:
[tex]y_A=16\cdot x_A=\dfrac{32-32\sqrt{10}}{3}\\y_B=\dfrac{32+32\sqrt{10}}{3}[/tex]
Zapiszmy jeszcze współrzędne punktów A i B:
[tex]A:\left(\dfrac{2-2\sqrt{}10}{3};\dfrac{32-32\sqrt{}10}{3}\right)\\\\B:\left(\dfrac{2+2\sqrt{}10}{3};\dfrac{32+32\sqrt{}10}{3}\right)[/tex]
---
Policzmy środek szukanego okręgu:
[tex]S=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{32}{3}\right)[/tex]
Oraz jego promień, który jest połową dlugości odcinka |AB|:
[tex]r=\dfrac{|AB|}{2}=\dfrac{\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{41120}}{6}[/tex]
Możemy już napisać równanie okręgu:
[tex]\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{32}{3}\right)^2=\dfrac{41120}{36}\\\\\boxed{\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{32}{3}\right)^2=\dfrac{10280}{9}}[/tex]
