Odpowiedź:
a)
ze wzoru na pole sześciokąta obliczamy długość promienia okręgu opisanego, która jest równa długości 1 boku sześciokąta
[tex]p = 12 \sqrt{3} \\p = \frac{3 {a}^{2} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \frac{3 {a}^{2} \sqrt{3} }{2} = 12 \sqrt{3} \\ {a}^{2} = 12 \sqrt{3} \times \frac{2}{3 \sqrt{3} } = 8 \\ a = \sqrt{ {a}^{2} } = \sqrt{8 } = 2 \sqrt{2} cm[/tex]
sześciokąt foremny to figura złożona z 6 trójkątów równobocznych a długość promienia okręgu wpisanego w ten sześciokąt jest równa wysokości trójkąta równobocznego
[tex]h = \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} }{2} = \sqrt{6} cm[/tex]
różnica długości okręgu opisanego i wpisanego to a-h
[tex]a - h = (2 \sqrt{2} - \sqrt{6}) cm[/tex]
b)
promień okręgu wpisanego równa jest wysokości h trójkąta równobocznego więc ze wzoru na wysokość obliczamy długość boku a
[tex]h = \frac{a \sqrt{3} }{2} \\ \frac{a \sqrt{3} }{2} = 1 \\ a = \frac{2}{ \sqrt{3} } = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \: cm[/tex]
znając długość boku a możemy obliczyć pole
[tex]p = \frac{3 {a }^{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \times ( {2 \sqrt{3} )}^{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \times 12 \sqrt{3} }{2} = 18 \sqrt{3} \: {cm}^{2} [/tex]
i obwód
[tex]ob = 6a = 6 \times \frac{2 \sqrt{3} }{3} = 4 \sqrt{3} \: cm[/tex]
