Dane:
Okręgi O1 i O2 są styczne zewnętrznie, zatem odległość pomiędzy nimi to suma ich promieni.
W tym zadaniu kluczowe jest wykonanie rysunku, na podstawie którego zauważymy potrzebne zależności. Wykonajmy go.
Styczną jest prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem i jest prostopadła do promienia okręgu.
Wnioski?
- Na podstawie rysunku zauważamy, że odcinki AB oraz AC są przeciwprostokątnymi trójkąt prostokątnych równoramiennych. Ramiona utworzone są z promieni każdego z okręgów.
- Suma promieni okręgów jest jednocześnie szukaną odległością BC.
ROZWIĄZANIE
Aby obliczyć długość obu promieni, korzystamy ze wzoru na przeciwprostokątną w trójkącie 90, 45, 45 stopni.
Przeciwprostokątna to [tex]a\sqrt{2}[/tex], czyli tutaj [tex]r\sqrt{2}[/tex]
- Obliczamy długość promienia mniejszego okręgu - r.
[tex]r\sqrt{2} =4\sqrt{10} |:\sqrt{2}[/tex]
[tex]r=\frac{4\sqrt{10} }{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }=\frac{4\sqrt{20} }{2}=\frac{2*2\sqrt{5} }{1} =4\sqrt{5}[/tex]
- Obliczmy teraz długość promienia drugiego okręgu - R.
[tex]R\sqrt{2} =12\sqrt{10} |:\sqrt{2}[/tex]
[tex]R=\frac{12\sqrt{10} }{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{12\sqrt{20} }{2} =6*2\sqrt{5} =12\sqrt{5}[/tex]
- Obliczamy długość odcinka BC, która jest sumą długość promieni.
[tex]r+R=4\sqrt{5} +12\sqrt{5} =16\sqrt{5}[/tex]
Odpowiedź:
Długość odcinka BC wynosi [tex]16\sqrt{5}[/tex]
