Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ \left<0,\ \infty\right)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Definicja wartości bezwzględnej:
[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]
Mamy równanie:
Na początku opóścimy wartość bezwzględną po prawej stronie równania:
Rozpisujemy z definicji:
[tex]|2-x|=\left\{\begin{array}{ccc}2-x&\text{dla}&2-x\geq0\to x\leq2\\x-2&\text{dla}&x > 2\end{array}\right\\\\|x|=\left\{\begin{array}{ccc}x&\text{dla}&x\geq0\\-x&\text{dla}&x < 0\end{array}\right[/tex]
Kreślimy oś liczbową zaznaczamy przedziały i określamy jak dana wartość bezwzględna zachowuje się w danym przedziale (patrz załącznik).
Stąd mamy:
[tex]|2-x|=\left\{\begin{array}{ccc}2-x&\text{dla}&I\ i\ II\\x-2&\text{dla}&III\end{array}\right\\\\|x|=\left\{\begin{array}{ccc}x&\text{dla}&II\ i\ III\\-x&\text{dla}&I\end{array}\right[/tex]
Rozwiązujemy równania:
[tex]x\in I\to x\in(-\infty,\ 0)\\\\(1)\\|x|-2=|2-x|\\\\-x-2=2-x\qquad|+x\\-2=2\qquad\bold{FALSZ}\\\\x\in\O\\\\(2)\\|x|-2=-|2-x|\\\\-x-2=-(2-x)\\-x-2=-2+x\qquad|+2\\-x=x\qquad|-x\\-2x=0\qquad|:(-2)\\x=0\notin I\\\\x\in\O[/tex]
[tex]x\in II\to x\in\left < 0,\ 2\right > \\\\(1)\\|x|-2=|2-x|\\\\x-2=2-x\qquad|+x\\2x-2=2\qquad|+2\\2x=4\qquad|:2\\x=4\notin II\\\\x\in\O\\\\(2)\\|x|-2=-|2-x|\\\\x-2=-(2-x)\\x-2=-2+x\qquad|-x\\-2=-2\qquad\bold{PRAWDA}\\\\x\in\left < 0,\ 2\right >[/tex]
[tex]x\in III\to x\in(2,\ \infty)\\\\(1)\\|x|-2=|2-x|\\\\x-2=x-2\qquad|-x\\-2=-2\qquad\bold{PRAWDA}\\\\x\in(2,\ \infty)\\\\(2)\\|x-2|=-|2-x|\\\\x-2=-(x-2)\\x-2=-x+2\qquad|+x\\2x-2=2\qquad|+2\\2x=4\qquad|:2\\x=2\notin III\\\\x\in\O[/tex]
Bierzemy sumę rozwiązań:
[tex]\left<0,\ 2\right>\ \cup\ (2,\ \infty)=\left<0,\ \infty\right)[/tex]
