Jest to zadanie z dziau równania prostej w postaci kierunkowej i ogólnej.
Mamy wzór prostej w postaci ogólnej (najpewniej został pominięty x):
[tex]l: 0,5x - y + 3 = 0[/tex]
[tex]l: \frac{1}{2} x - y + 3 = 0[/tex]
[tex]M = (-2,1)[/tex]
Przypomnijmy wzory:
[tex]Ax + By + C = 0[/tex]
gdzie:
A, B, C - współczynniki prostej
[tex]y = ax + b[/tex]
gdzie:
a, b - współczynniki prostej
[tex]a_1 \cdot a_2 = -1[/tex]
gdzie:
[tex]a_1, a_2[/tex] - współczynniki kierunkowe prostych
Przystępujemy do cyklu obliczeniowego:
1. Prosta w zadaniu jest w postaci ogólnej - należy przekształcić ją do postaci kierunkowej aby móc odczytać współczynnik kierunowy prostej:
[tex]\cfrac{1}{2}x - y + 3 = 0[/tex]
- wyznaczamy 'y':
[tex]-y = -\cfrac{1}{2}x - 3 | : (-1) \\\\[/tex]
[tex]y = \cfrac{1}{2}x + 3 \\\\[/tex]
więc:
[tex]a_ 1 = \cfrac{1}{2} \\\\[/tex]
2. Mamy otrzymać prostą równoległą do danej, więc obliczamy ile wynosi współczynnik kierunkowy drugiej prostej:
[tex]a_1 \cdot a_2 = -1\\\\\frac{1}{2} \cdot a_2 = -1 | : \cfrac{1}{2} \\\\a_2 = (-1) \cdot 2 = -2 \\\\[/tex]
Pamiętajmy, że dzielenie to inaczej mnożenie przez odwrotność.
3. Mamy informacje, że prosta prostopadła ma przechodzić przez punkt [tex]M = (-2,1) = (x,\ y)[/tex]
Podstawiamy do wzoru na prostą i wyliczamy brakujący współczynnik 'b':
[tex]y = ax + b \\\\a = -2, x = -2, y = 1 \\\\[/tex]
więc:
[tex]1 = (-2) \cdot (-2) + b \\\\4+b = 1 | - 4 \\\\b =-3} \\\\[/tex]
4. Prosta prostopadła do podanej, przechodząca przez punkt M, ma wzór:
[tex]\boxed{y = -2x -3}[/tex]
Jest to postać kierunkowa.
5. Przekształcamy podany wyżej wzór i zapisujemy prostą w postaci ogólnej:
[tex]y = -2x -3 \\\\y + 2x + 3 = 0\\\\\boxed{2x + y +3= 0 }[/tex]