[tex]z^3-2+2i=0\\z=\sqrt[3]{2-2i}\\|2-2i|=2\sqrt{2}\\\arg{(2-2i)}=\arctan{\frac{-2}{2}}=-\frac{\pi}{4}\\z=\sqrt[3]{2\sqrt{2}e^{-i\pi/4}}\\z_1=\sqrt{2}e^{-i\pi/12}=\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{12}}-i\sin{\frac{\pi}{12}})=\frac{1+\sqrt{3}-i(\sqrt{3}-1)}{2}\\z_2=\sqrt{2}e^{i7\pi/12}=\frac{1-\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})}{2}\\z_3=\sqrt{2}e^{i5\pi/4}=-1-i[/tex]
Skorzystałem tu ze wzorów Eulera i tego, że faza jest określona z dokładnością do wielokrotności 2π, stąd też faza -π/4 jest tożsama -π/4+2π=7π/4 oraz -π/4+4π=15π/4. Jednak przy pierwiastkowaniu dostajemy istotnie różne rozwiązania.
Uwaga: sinus i cosinus kąta π/12 można obliczyć np. ze wzoru:
[tex]\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt3}{2}=2\cos^2\frac{\pi}{12}-1[/tex]
pozdrawiam
