Odpowiedź:
Jest to typowe zadanie optymalizacyjne.
A więc tak, oznaczmy sobie przez x długość podstawy tego trójkąta.
Ponieważ wysokość i podstawa mają razem 4, to oznacza, że wysokość ma długość:
[tex]h=4-x[/tex]
Zapiszmy więc wzór na pole trójkąta wykorzystując przyjęte przez nas oznaczenia:
[tex]P_{\Delta}=\frac{x\cdot h}{2}=\frac{x\cdot(4-x)}{2}[/tex]
Chcemy żeby to pole było możliwie największe. Zatem szukamy maskimum takiej funkcji:
[tex]f(x)=\frac{x\cdot(4-x)}{2}[/tex]
Żeby znaleźć maksimum, musimy policzyć pochodną i przyrównać ją do zera, mamy więc:
[tex]f'(x)=\left(\frac{x\cdot(4-x)}{2}\right)'=\left(\frac{4x-x^2}{2}\right)'=\frac{1}{2}(4x-x^2)'=\frac{1}{2}(4-2x)=2-x[/tex]
Teraz przyrównajmy ją do zera
[tex]f'(x)=0\\\\2-x=0\\\\x=2[/tex]
Mamy już podejrzaną wartość, żeby mieć pewność że to maksimum to musimy zbadać jak w tym punkcie zmienia się wartość naszej pochodnej (czy z dodatniej na ujemną czy z ujemnej na dodatnią).
Nasza pochodna opisana jest wzorem [tex]f'(x)=2-x[/tex]. Jest to więc liniowa funkcja malejąca. Czyli w punkcie [tex]x=2[/tex] wartości zmieniają się z dodatnich na ujemne (jeśli tego nie widać, to można sobie wykres narysować).
Skoro wartości pochodnej [tex]f'(x)[/tex] zmieniają się z dodatnich na ujemną, to znaczy, że funkcja [tex]f(x)[/tex] najpierw rośnie, a potem maleje, czyli w punkcie [tex]x=2[/tex] rzeczywiście mamy maksimum.
Zatem podstawa musi mieć długość 2 a wysokość musi być równa także 2.
Pytają nas o wszytskie boki trójkąta. Jeśli podstawa i wysokość są równe 2, to ramię tego trójkąta obliczymy z tw. Pitagorasa.
[tex]2^2+1^2=b^2\\\\4+1=b^2\\\\5=b^2\\\\b=\sqrt{5}[/tex]
Zatem boki naszego trójkąta, dla których jego pole jest możliwie największe wynoszą: [tex]\sqrt{5},\,\sqrt{5},\,2[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
