Zadanie dotyczy działu pochodne funkcji.
Przykład pierwszy.
Korzystamy z wzorów:
[tex](x^n)^, = nx^{n-1} \\\\[/tex]
oraz z własności potęg:
[tex]a^{-b} = \cfrac{1}{a^b}[/tex]
Liczymy pochodną:
[tex]y = \cfrac{1}{x^{\frac{7}{2}}} = x^{-\frac{7}{2}}= x^{-3,5} \\\\[/tex]
[tex]y^, = ( \cfrac{1}{x^{\frac{7}{2}}})^, = (x^{-3,5})^, = -3,5x^{-3,5-1} = -3,5x^{-4,5} = -\cfrac{7}{2}\ x^{-\frac{9}{2}}[/tex]
Przykład drugi:
Korzystamy z wzorów:
[tex](e^x)^, = e^x \\\\(arcsinx)^, = \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\\\[/tex]
[tex](x)^, = 1[/tex]
[tex][f(x) \cdot g(x)]^, = f^,(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^,(x)[/tex]
W tym przykładzie:
[tex]f(x) = e^x, \ \ g(x) = arcsin(5x)[/tex]
Liczymy pochodną funkcji złożonej - zgodnie z wzorem:
[tex]y = e^x \cdot arcsin(5x) \\\\y^, = (e^x)^, \cdot arcsin(5x) + e^x \cdot (arcsin(5x))^, = e^x \cdot arcsin(5x) + e^x \cdot \cfrac{1}{\sqrt{1-25x^2}} \cdot 5 = \\\\ = e^xarcsin(5x) + \cfrac{5e^x}{\sqrt{1-25x^2}}\\\\[/tex]
Przykład trzeci:
Korzystamy z wzorów:
[tex](lnx)^, = \frac{1}{x} \\\\(cosx)^, = -sinx \\\\\ [\cfrac{f(x)}{g(x)}]^, = \cfrac{(f^,(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^,(x)}{[g(x)]^2}[/tex]
W tym przykładzie:
[tex]f(x) = lnx, \ \ g(x) = cosx[/tex]
Liczymy pochodną funkcji złożonej - zgodnie z wzorem:
[tex]y = \cfrac{lnx}{cosx} \\\\y^, = \cfrac{(lnx)^, \cdot cosx - lnx \cdot (cosx)^,}{cos^2x} = \cfrac{\frac{1}{x} \cdot cosx - lnx \cdot (-sinx)}{cos^2x} = \cfrac{\frac{cosx}{x} + lnxsinx}{cos^2x}[/tex]
