a) prędkość początkową piłki
[tex]$v = \frac{h(t)}{t} = \frac{vt - 5t^2}{t} = v - 5t$[/tex]
[tex]$v = \frac{h(6)}{6} = \frac{6v - 30}{6} = v - 5$[/tex]
[tex]$v = h(6) + 5 = 36 + 5 = 41 \frac{m}{s}$[/tex]
b) największą odległość piłki od ziemi
[tex]$h(t) = vt - 5t^2$[/tex]
[tex]$h'(t) = v - 10t$[/tex]
[tex]$h'(t) = 0 \Rightarrow v - 10t = 0 \Rightarrow t = \frac{v}{10}$[/tex]
[tex]$h(\frac{v}{10}) = \frac{v}{10}v - \frac{v}{10}5\frac{v}{10} = \frac{v^2}{10} - \frac{5v^2}{100} = \frac{9v^2}{100}$[/tex]
[tex]$h(\frac{v}{10}) = \frac{9v^2}{100} = \frac{9}{100}41^2 = 16.81 \frac{m}{s}$[/tex]
c) po ilu sekundach od chwili kopnięcia piłka była na wysokości 25 metrów
nad ziemią.
[tex]$h(t) = vt - 5t^2$25 = vt - 5t^2$5t^2 - vt + 25 = 0$[/tex]
[tex]$t_{1,2} = \frac{v \pm \sqrt{v^2 - 4(5)(25)}}{2(5)} = \frac{v \pm \sqrt{v^2 - 500}}{10}$t_1 = \frac{v - \sqrt{v^2 - 500}}{10}$t_2 = \frac{v + \sqrt{v^2 - 500}}{10}$[/tex]
[tex]$25 = 41t - 5t^2$5t^2 - 41t + 25 = 0$t_{1,2} = \frac{41 \pm \sqrt{41^2 - 4(5)(25)}}{2(5)} = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 500}}{10}$[/tex]
[tex]$t_1 = \frac{41 - \sqrt{1681 - 500}}{10} = \frac{41 - \sqrt{1181}}{10} \approx 1.44$t_2 = \frac{41 + \sqrt{1681 - 500}}{10} = \frac{41 + \sqrt{1181}}{10} \approx 4.56$[/tex]