Odpowiedź:
[tex]m=9[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]$x^{4}-10x^{2}+m=0[/tex]
Podstawiamy [tex]u=x^{2}[/tex] gdzie [tex]\ u \geq 0[/tex]. Mamy:
[tex]$u^{2}-10u+m=0[/tex]
Wyjściowe równanie ma mieć cztery pierwiastki, a więc tutaj musimy otrzymać dwa pierwiastki, czyli [tex]\Delta > 0[/tex] :
[tex]$\Delta=100-4 \cdot 1 \cdot m=100-4m[/tex]
[tex]100-4m > 0 \iff m \in (-\infty,25)[/tex]
Teraz zauważmy, że założenie [tex]u\geq 0[/tex] wymaga, aby pierwiastki równania [tex]f(u)=0[/tex] były dodatnie (nie wyciągnięmy pierwiastka z liczby ujemnej, a dla [tex]u_{1}=0 \vee u_{2}=0[/tex] mamy mniej niż cztery pierwiastki). Ze wzorów Viete'a :
[tex]u_{1} \cdot u_{2} > 0 \wedge u_{1}+u_{2} > 0 \iff m > 0 \wedge 10 > 0 \iff m > 0[/tex]
Obliczamy pierwiastki :
[tex]$u_{1}=\frac{10+\sqrt{100-4m} }{2} =5+\sqrt{25-m}[/tex]
[tex]$u_{2}=\frac{10-\sqrt{100-4m} }{2} =5-\sqrt{25-m}[/tex]
Stąd (pierwiastki układam już w kolejności rosnącej) :
[tex]$x_{1}=-\sqrt{5+\sqrt{25-m} }[/tex]
[tex]$x_{2}=-\sqrt{5-\sqrt{25-m} }[/tex]
[tex]$x_{3}=\sqrt{5-\sqrt{25-m} }[/tex]
[tex]$x_{4}=\sqrt{5+\sqrt{25-m} }[/tex]
Pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny, a zatem musi zachodzić równość:
[tex]$x_{2}=\frac{x_{1}+x_{3}}{2} \wedge x_{3}=\frac{x_{2}+x_{4}}{2}[/tex]
Mamy:
[tex]$\frac{-\sqrt{5+\sqrt{25-m} }+\sqrt{5-\sqrt{25-m} } }{2} =-\sqrt{5-\sqrt{25-m} }[/tex]
Po uproszczeniu:
[tex]\sqrt{5+\sqrt{25-m} } =3\sqrt{5-\sqrt{25-m} }[/tex]
Podnosimy do kwadratu:
[tex]5+\sqrt{25-m}=9(5-\sqrt{25-m} )[/tex]
[tex]5+\sqrt{25-m} =45-9\sqrt{25-m}[/tex]
[tex]10\sqrt{25-m}=40[/tex]
[tex]\sqrt{25-m}=4[/tex]
Znowu podnosimy do kwadratu:
[tex]25-m=16 \iff m=9[/tex]
Jeżeli dobrze spojrzymy, to drugi warunek różni się od pierwszego jedynie znakami, więc nie musimy go ponownie rozwiązywać, bo wynik byłby taki sam.
Zatem ostatecznie rozwiązaniem jest:
[tex]m=9[/tex]
