Cześć!
Szczegółowe wyjaśnienie:
MATURA 2022 Matematyka, poziom podstawowy.
Zadanie 15.
Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego ([tex]a_{n}[/tex]), określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, są dodatnie i [tex]9a_{5}[/tex] = [tex]4a_{3}[/tex]. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:
A. [tex]\frac{2}{3}[/tex]
B. [tex]\frac{3}{2}[/tex]
C. [tex]\frac{2}{9}[/tex]
D. [tex]\frac{9}{2}[/tex]
9 = a5 = 4a3
9a1 · q⁴ = 4 · a1 · q² // skreślamy a1 i a1
9q² = 4/:9
Odpowiedź: A
[tex]q = \frac{4}{9} \\ q = \frac{2}{3} [/tex]
Zadanie dotyczy ciągu geometrycznego.
Prawidłowa odpowiedź to wariant A.
Przypomnijmy wzór ogólny ciągu geometrycznego:
[tex]a_ n = a_1 \cdot q^{n - 1}[/tex]
gdzie:
[tex]a _1[/tex] - wyraz pierwszy
[tex]q[/tex] - iloraz ciągu
[tex]n[/tex] - określa który to wyraz ciągu
Dane z zadania:
[tex]9a_5 = 4a_3[/tex]
Zgodnie z wzorem powyżej (ogólnym) możemy zapisać, że:
[tex]a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 \cdot q^4 \\\\a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} =a_1 \cdot q^2[/tex]
czyli:
[tex]9a_5 = 4a_3\\\\[/tex]
[tex]9 \cdot a_1 \cdot q^4 = 4 \cdot a_1 \cdot q^2 |:a_1 \\\\ 9q^4 = 4q^2 | : q^2 \ \ \ \ q\neq 0 \\\\9q^2 = 4 | : 9 \\\\q^2 = \cfrac{4}{9} \\\\q = \sqrt{\cfrac{4}{9}} = \cfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \cfrac{2}{3}[/tex]
Prawidłowa odpowiedź to wariant A.