Zadanie dotyczy pola powierzchni całkowitej podanego na rysunku ostrosłupa.
Prawidłowa odpowiedź to wariant D.
Wzór na pole powierzchni całkowitej dowolnego ostrosłupa:
[tex]P_c = P_p + P_b[/tex]
[tex]P_c[/tex] ⇒ pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
[tex]P_p[/tex] ⇒ pole podstawy ostrosłupa
[tex]P_b[/tex] ⇒ pole boczne ostrosłupa
Wiemy, że bryła ABCDEFGH to sześcian o krawędzi a.
Mając te dane możemy obliczyć krawędź podstawy tego ostrosłupa.
Są to odcinki |BE|, |BG| oraz |EG|. Wszystkie te odcinki są takie same i odpowiadają przekątnej kwadratu o boku a, czyli:
[tex]|BE| = |BG| = |EG| = d = a\sqrt{2}[/tex]
- Pole boczne tworzą trzy takie same trójkąty prostokątne o krawędzi długości a więc pole boczne wyraża się wzorem:
[tex]P_b = 3 \cdot P_{\Delta} = 3 \cdot \cfrac{1}{2} \cdot a \cdot a = \cfrac{3}{2}\ a^2[/tex]
- Pole podstawy to trójkąt równoboczny, więc:
[tex]P_p = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\\\[/tex]
Krawędzią tego ostrosłupa jest d, więc:
[tex]P_p = \cfrac{d^2\sqrt{3}}{4} = \cfrac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \cfrac{a^2 \cdot (\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \cfrac{a^2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{2}[/tex]
- Obliczamy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:
[tex]P_c = P_p + P_b \\\\[/tex]
[tex]\boxed{P_c = \cfrac{a^2\sqrt{3}}{2} + \cfrac{3}{2}\ a^2= \cfrac{a^2\sqrt{3}+3a^2}{2} = a^2 \cdot (\cfrac{\sqrt{3}+3}{2})=\cfrac{3+\sqrt{3}}{2} \ a^2 }[/tex]
Najpewniej jest literówka w wariancie D.
Wniosek: Prawidłowa odpowiedź to wariant D.
