Zadanie dotyczy nierówności kwadratowej.
Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
[tex]x\in (-\infty;-2 > \cup < 2\frac{2}{3};+\infty)[/tex]
Przykład z zadania:
[tex]3x^2 - 2x - 9 \geq 7 \\\\[/tex]
- Zapisujemy najpierw tą nierówność jako równanie:
[tex]3x^2 - 2x - 9 = 7[/tex]
Otrzymujemy równanie kwadratowe postaci:
[tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]
bo:
[tex]3x^2 - 2x - 9 - 7 = 0\\\\3x^2 - 2x - 16 = 0[/tex]
Wypisujemy współczynniki:
[tex]a = 3, b = -2, c= - 16[/tex]
- Obliczamy pierwiastki równania stosując wyróżnik równania kwadratowego tzw."deltę":
[tex]\Delta = b^2 -4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 4 + 12 \cdot 16 = 4 + 192 = 196 \\\\[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14 \\\\[/tex]
[tex]x_1 = \cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \cfrac{2 - 14}{2 \cdot 3 } = \cfrac{-12}{6} = -2 \\\\x_2 = \cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \cfrac{2 + 14}{2 \cdot 3} = \cfrac{16}{6} = \cfrac{8}{3} = 2\cfrac{2}{3} \\\\[/tex]
- Obliczyliśmy pierwiastki tego równania kwadratowego - możemy teraz wrócić do nierówności:
[tex]3x^2 - 2x -9\geq 7 \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ 3x^2 -2x - 16 \geq 0[/tex]
[tex]a = 3 \rightarrow a > 0[/tex] ramiona paraboli skierowane są ku górze.
- Zaznaczamy na osi pierwiastki równania (rysunek poglądowy w załączniku).
- Rozwiązania mają być większe lub równe zero więc interesują nas tylko rozwiązania powyżej osi OX.
- Pierwiastki równania również należą do rozwiązania (kółka są zamalowane).
Możemy zapisać więc odpowiedź - rozwiązanie tej nierówności:
[tex]x\in (-\infty;-2 > \cup < 2\frac{2}{3};+\infty)[/tex]
