Rozwiązanie:
[tex]f(x)=ax^{2}+bx+c[/tex]
Rozważmy funkcję [tex]f[/tex] w postaci kanonicznej :
[tex]f(x)=a(x-p)^{2}+q[/tex]
Skoro prosta o równaniu [tex]y=6[/tex] ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą, to rzędna wierzchołka jest równa [tex]6[/tex], czyli [tex]q=6[/tex]. Zatem:
[tex]f(x)=a(x-p)^{2}+6[/tex]
Teraz zauważmy, że podane punkty są miejscami zerowymi funkcji [tex]f[/tex], a zatem:
[tex]$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} =\frac{-5+3}{2} =-1[/tex]
Czyli:
[tex]f(x)=a(x+1)^{2}+6[/tex]
Teraz podstawiamy np. punkt [tex]B[/tex] i obliczamy [tex]a[/tex] :
[tex]0=a(3+1)^{2}+6[/tex]
[tex]0=16a+6[/tex]
[tex]16a=-6[/tex]
[tex]$a=-\frac{6}{16} =-\frac{3}{8}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$f(x)=-\frac{3}{8} (x+1)^{2}+6=-\frac{3}{8}(x^{2}+2x+1)+6=-\frac{3}{8} x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}[/tex]
Zatem:
[tex]$ a=-\frac{3}{8}[/tex]
[tex]$b=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]$c=\frac{45}{8}[/tex]