Witaj :)
Wiemy, że:
[tex]\alpha\in(0^\circ;90^\circ)\ \ \wedge \ \ \ tg\alpha=\frac{4}{3}[/tex]
Z tożsamości trygonometrycznej mamy:
[tex]tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \ \ gdzie:\ \ \cos\alpha\neq 0[/tex]
Wówczas możemy zapisać:
[tex]\frac{4}{3}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
Z powyższej zależności wyznaczam cosinus kąta alfa:
[tex]\frac{4}{3}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\\4\cos\alpha=3\sin\alpha\ /:4\\\\\cos\alpha=\frac{3}{4}\sin\alpha[/tex]
Skorzystamy z kolejnej tożsamości trygonometrycznej, a mianowicie "jedynki trygonometrycznej":
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
W miejsce cosinusa podstawiamy powyższe wyznaczenie i wyliczamy wartość sinusa kąta alfa:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+(\frac{3}{4}\sin\alpha)^2=1\\ \\\sin^2\alpha+\frac{9}{16}\sin^2\alpha=1\\ \\\frac{25}{16}\sin^2\alpha=1\ /\cdot \frac{16}{25}\\ \\ \sin^2\alpha=\frac{16}{25}\ /\sqrt{...}\\ \\\boxed{\sin\alpha=\frac{4}{5}}[/tex]
Z wyżej zapisanej zależności między cosinusem i sinusem mamy, że:
[tex]\cos\alpha=\frac{3}{4}\sin\alpha[/tex]
Podstawiamy wartość sinusa i obliczamy cosinus kąta alfa:
[tex]\cos\alpha=\frac{3}{4}\sin\alpha\\\\\cos\alpha=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\\ \\\boxed{ \cos\alpha=\frac{3}{5}}[/tex]
Na podstawie powyższego wartość szukanego wyrażenia będzie równa:
[tex]\Large \boxed{\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=0,2}[/tex]
Odpowiedź.: Wartość wyrażenia wynosi 0,2 [C].