Zadanie dotyczy trygonometrii.
Należy obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
Skorzystamy z następujących wzorów:
1. Jedynka trygonometryczna:
[tex]sin^2 \alpha + cos^2\alpha = 1[/tex]
[tex]tg\alpha = \cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\ctg\alpha = \cfrac{1}{tg\alpha}[/tex]
Przykłady z zadania:
a)
[tex]sin\alpha = \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\alpha \in(0^o;90^o)[/tex]
[tex]sin^2 \alpha + cos^2\alpha = 1 \\\\(\frac{1}{3})^2 + cos^2\alpha = 1 \\\\\cfrac{1}{9} + cos^2\alpha = 1 \\\\cos^2\alpha = 1 - \cfrac{1}{9} \\\\cos^2\alpha = \cfrac{8}{9} \\\\cos\alpha = \sqrt{\cfrac{8}{9}} = \cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \cfrac{\sqrt{4 \cdot2}}{3} = \cfrac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
[tex]tg\alpha = \cfrac{sin\alpha}{cos\alpha} = \cfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{3}{2\sqrt{2}} = \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \cfrac{\sqrt{2}}{4}[/tex]
[tex]ctg\alpha = \cfrac{1}{tg\alpha} = \cfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = 1 \cdot \cfrac{4}{\sqrt{2}}=\cfrac{4}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \cfrac{4\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}[/tex]
Przy obliczaniu tgα i ctgα korzystaliśmy z operacji usuwania niewymierności z mianownika - wykonuje się to poprzez mnożenie przez ułamek, który w liczniku i mianowniku składa się z tego pierwiastka, który chcemy usunąć.
Pamiętajmy, że dzielenie to inaczej mnożenie przez odwrotność.
b)
[tex]tg\alpha = \sqrt{3} \\\\[/tex]
[tex]\alpha \in(0^o;90^o)[/tex]
[tex]ctg\alpha = \cfrac{1}{tg\alpha} = \cfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]tg\alpha = \cfrac{sin\alpha}{cos\alpha} \\\\\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha} = \sqrt{3}\ | \cdot cos\alpha \rightarrow sin\alpha = \sqrt{3} cos\alpha[/tex]
[tex]sin^2 \alpha + cos^2\alpha = 1\\\\(\sqrt{3} cos\alpha)^2 + cos^2\alpha = 1 \\\\3cos^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \\\\4cos^2\alpha = 1 | : 4 \\\\cos^2\alpha = \frac{1}{4} \\\\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} \\\\cos\alpha = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]sin\alpha= \sqrt{3} cos\alpha = \sqrt{3} \cdot \cfrac{1}{2} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex]
#SPJ1