Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]
[tex]\bold{a)}[/tex]
[tex]$A=\left[\begin{array}{ccc}3&-2\\1&1\end{array}\right][/tex]
[tex]$B=\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-1&3\end{array}\right][/tex]
[tex]AB=\left[\begin{array}{ccc}3&-2\\1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&-2\\-1&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&-12\\0&1\end{array}\right] \neq I[/tex]
Zatem macierz [tex]B[/tex] nie jest macierzą odwrotną do macierzy [tex]A[/tex].
[tex]\bold{b)}[/tex]
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{array}\right][/tex]
[tex]$B=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &-\frac{1}{2} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \end{array}\right][/tex]
[tex]AB=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] =I[/tex]
[tex]BA=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] =I[/tex]
Zatem [tex]AB=BA=I[/tex], czyli macierz [tex]B[/tex] jest macierzą odwrotną do macierzy [tex]A[/tex].
Zadanie [tex]\bold{3.}[/tex]
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&3\\0&-1\end{array}\right][/tex]
Mamy:
[tex]A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&3&-1\end{array}\right][/tex]
[tex]B=A \cdot A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&3\\0&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&3&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&6&-2\\6&9&-3\\-2&-3&1\end{array}\right][/tex]
[tex]C=A^{T} \cdot A =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&3&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&3\\0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&14\end{array}\right][/tex]
[tex]\bold{a)}[/tex]
Macierzy [tex]A^{2}[/tex] nie da się wyznaczyć (potęgować da się tylko macierze kwadratowe).
Macierz [tex]A \cdot C[/tex] :
[tex]A \cdot C =\left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&3\\0&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&14\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&30\\6&42\\-2&-14\end{array}\right][/tex]
Macierzy [tex]B+C[/tex] nie da się wyznaczyć (dodawać da się tylko macierze tych samych rozmiarów).
[tex]\bold{b)}[/tex]
Wyznacznik macierzy [tex]A[/tex] nie istnieje (macierz nie jest kwadratowa).
Wyznacznik macierzy [tex]B[/tex] :
[tex]\det(B)=(45+36+36)-(36+45+36)=0[/tex]
Wyznacznik macierzy [tex]C[/tex] :
[tex]\det(C)=14-4=10[/tex]
