Zad. 1.
Aby obliczyć 4 wyraz ciągu wstawiamy 4 zamiast n we wzorze na [tex]a_n[/tex]:
[tex]a_1=1\\a_2=25-1=24\\\\a_n=2a_{n-2}-3a_{n-1}\\\\a_4=2a_{4-2}-3a_{4-1}\\a_4=2a_{2}-3a_{3}[/tex]
[tex]a_2[/tex] znamy, musimy tylko znaleźć [tex]a_3[/tex], czyli do wzoru na [tex]a_n[/tex] podstawić 3 zamiast n:
[tex]a_3=2a_{3-2}-3a_{3-1}\\a_3=2a_{1}-3a_{2}\\a_3=2\cdot1-3\cdot24=2-72=-70[/tex]
Zatem:
[tex]a_4=2a_{2}-3a_{3}\\a_4=2\cdot24-3\cdot(-70)=48+210=258[/tex]
Odp.: [tex]\bold{a_4=258}[/tex]
Zad. 2.
Skoro wstawiamy 6 liczb między dwie podane, to łącznie mamy 8 liczb, czyli:
[tex]a_1=2\,,\ a_2=?\,,\ a_3=?\,,\ a_4=?\,,\ a_5=?\,,\ a_6=?\,,\ a_7=?\,,\ a_8=38-1=37[/tex]
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każda następna jest o r większa od poprzedniej.
Zatem dowolny wyraz ciąg arytmetycznego ma wzór: [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot r[/tex]
Stąd:
[tex]a_8=a_1+7r\\\\37=2+7r\\\\35=7r\qquad/:7\\\\r=5[/tex]
Czyli:
[tex]a_2=a_1+r=2+5=7\\a_3=a_2+r=7+5=12\\a_4=a_3+r=12+5=17\\a_5=a_4+r=17+5=22\\a_6=a_5+r=22+5=27\\a_7=a_6+r=27+5=32[/tex]
Spr.: [tex]a_8=a_7+r=32+5=37[/tex]
Odp.:
2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37
Zad. 3.
[tex]a_n=13-4n\\\\a_{12-1}=13-4\cdot(12+1)=13-4\cdot13=-39\\\\a_{50-1}=13-4\cdot(50-1)=13-4\cdot49=13-196=-183[/tex]
Odp.:
[tex]\bold{a_{12-1}=-39\,,\quad\ a_{50-1}=-183}[/tex]
