Wartość tego wyrażenia wynosi 6
Oblicz wartość poniższego wyrażenia:
[tex] \frac{5 + 15 + 25 + ... + 115}{8 + 10 + 12 + ... + 22} [/tex]
Licznik:
Różnica
[tex]a_1 + r = a_2 \\ 5 + r = 15 \\ r = 10[/tex]
Zatem 115 to (x - 1) wyraz naszego ciągu. Obliczmy go:
[tex]a_1 + (x - 1)r = a_n \\ 5 + xr - r = 115 \\ 10x - 10 = 110 \\ 10x = 120 | \div 10 \\ x = 12[/tex]
Zatem oznacza to, że nasz ciąg w liczniku ma 12 wyrazów.
Suma wyrazów tego ciągu
[tex]Sn = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \\ S_{12} = \frac{5 + a_{12}}{2} \times 12 \\ S_{12} = \frac{5 + 115}{2} \times 12 \\ S_{12} = \frac{120}{2} \times 12 \\ S_{12} = 60 \times 12 \\ \boxed{S_{12} = 720}[/tex]
Mianownik
Różnica
[tex]a_1 + r = a_2 \\ 8 + r = 10 \\ r = 2[/tex]
Zatem 22 to (x - 1) wyraz naszego ciągu. Obliczmy go:
[tex]a_1 + (x - 1)r = a_n \\ 8 + xr - r = 22 \\ 2x - 2 = 14 \\ 2x = 16 | \div 2 \\ x = 8[/tex]
Zatem oznacza to, że nasz ciąg w mianowniku ma 8 wyrazów.
Suma wyrazów tego ciągu
[tex]Sn = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \\ S_8 = \frac{8 + a_8}{2} \times 8 \\ S_8 = \frac{8 + 22}{2} \times 8 \\ S_8 = \frac{30}{2} \times 8 \\ S_8 = 15 \times 8 \\ \boxed{S_8 = 120}[/tex]
Wartość wyrażenia, jaką mamy obliczyć:
[tex] \frac{5 + 15 + 25 + ... + 115}{8 + 10 + 12 + ... + 22} = \boxed{ \frac{720}{120} } = 6[/tex]
