Odpowiedź:
Wszystkie liczby są wymierne oprócz [tex]\sqrt{2\frac{14}{19}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Liczby wymierne to takie, które można zapisać w postaci ułamka [tex]\frac{a}{b}[/tex], w którym a i b są całkowite, a mianownik b ≠ 0. Wszystkie ułamki dziesiętne o skończonej liczbie cyfr oraz okresowe, mimo że zapis dziesiętny zawiera nieskończenie wiele cyfr, są liczbami wymiernymi, bo można je przekształcić w ułamki zwykłe, korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie q, który jest z przedziału (0; 1). Na przykład liczbę 0,23(158) możemy zapisać jako sumę 0,23 + 0,00158 + 0,00000158 + ...
która jest sumą 0,23 oraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 0,00158 i ilorazie q=0,00000158 / 0,00158 = 0,001:
[tex]S=0,23+\frac{0,00158}{1-0,001} =\frac{23}{100}+\frac{158}{99900}=\frac{23135}{99900}[/tex]
Natomiast [tex]\sqrt{2\frac{14}{19}}=\sqrt\frac{52}{19}}=\sqrt\frac{4\cdot13}{19}}=2\sqrt\frac{13}{19}}[/tex]
jest liczbą niewymierną, co można udowodnić podobnie do dowodu na to, że [tex]\sqrt{2}[/tex] jest liczbą niewymierną.