1. punkt D
Punkt S jest środkiem ciężkości = punktem przecięcia się środkowych. Z twierdzenia o środkowych wynika, że
[tex]\vec{SD}=\frac{1}{2}\cdot \vec{AS}=\frac{1}{2}\cdot [2; -4]=[1; -2][/tex]
zatem współrzędne D=(-2+1; 4-2)
D=(1; -2)
2. równanie okręgu o(D, AD)
Trójkąt ABC jest prostokątny równoramienny, zatem przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. Środek okręgu D znajduje się na środku przeciwprostokątnej.
promień [tex]r=AD=\sqrt{(-2-1)^2+(4-(-2))^2}=\sqrt{45}[/tex]
więc okrąg o środku w punkcie D i promieniu AD ma równanie
[tex](x-1)^2+(y+2)^2=45[/tex]
3. prosta BC
Wierzchołki B i C szukanego trójkąta będą częścią wspólną prostej zawierającej przeciwprostokątną BC i okręgu. Prosta BC jest prostopadła do prostej AD, bo w trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego jest jednocześnie środkową i jest prostopadła do przeciwprostokątnej.
Wektor [tex]\vec{AS}[/tex] jest wektorem normalnym do prostej BC, więc równanie prostej BC ma postać:
[tex]1(x-1)-2(y+2)=0\\x-1-2y-4=0\\x-2y-5=0[/tex]
4. punkty B i C
To teraz trzeba rozwiązać układ równań: równanie okręgu i równanie prostej BC, bo punkty B i C leżą na obu tych figurach.
[tex]x-2y-5=0\\(x-1)^2+(y+2)^2=45[/tex]
z pierwszego równania wyznaczam x=2y+5 i podstawiam do równania okręgu
[tex](2y+5-1)^2+(y+2)^2=45\\(2y+4)^2+(y+2)^2=45\\4y^2+16y+16+y^2+4y+4-45=0\\5y^2+20y-25=0\\y^2+4y-5=0\\(y+5)(y-1)=0\\y=-5\quad\wedge\quad y=1[/tex]
podstawiając otrzymane wyniki otrzymujemy
y=-5 i x=-5 czyli punkt C(-5; -5)
y=1 i x=7 czyli punkt B(7; -1)
5. współrzędne punktów A1, B1, C1
W symetrii środkowej względem punktu S(0,0) współrzędne obrazów są liczbami przeciwnymi, zatem
A1 = (2; -4)
B1 = (-7; -1)
C1 = (5; 5)
