Odpowiedź:
[tex]x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{73}}{2};\frac{-5+\sqrt{73}}{2};+\infty)[/tex]
W załączniku wykresy funkcji.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wystarczy rozwiązać nierówność:
f(x) > g(x)
5x - 7 > -x² +5 / + (x² - 5) dodajemy do obu stron x² - 5
x² + 5x - 7 - 5 > 0
x² + 5x - 12 > 0
Zamiast obliczać ze wzorów Δ i pierwiastki nierówności kwadratowej, możemy zastosować wzór na kwadrat sumy (lub różnicy), czyli tak zwany wzór skróconego mnożenia:
[tex](x+\frac{5}{2})^2 = x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2[/tex]
czyli:
[tex]x^2 + 5x = (x+\frac{5}{2} )^2 - (\frac{5}{2} )^2[/tex]
wstawiamy do nierówności:
[tex](x+\frac{5}{2} )^2 - (\frac{5}{2} )^2 - 12 > 0\\\\(x+\frac{5}{2} )^2 > \frac{73}{4}[/tex]
ponieważ obie strony nierówności są zawsze nieujemne, to możemy nałożyć na nie pierwiastek kwadratowy:
[tex]\pm(x+\frac{5}{2}) > \frac{\sqrt{73}}{2}[/tex]
co można zamienić na 2 nierówności:
[tex](x+\frac{5}{2}) > \frac{\sqrt{73}}{2}\\lub\\-(x+\frac{5}{2}) > \frac{\sqrt{73}}{2}\\\\czyli:\\\\x > \frac{\sqrt{73}-5}{2}\\lub\\x < \frac{-\sqrt{73}-5}{2}[/tex]
W tej metodzie oprócz pierwiastków dostajemy od razu prawidłowe przedziały spełniające nierówność.
Drugi sposób polega na obliczeniu Δ, choć ten sposób wymaga wzorów na Δ i pierwiastki:
Δ = 5² - 4 · 1 · (-12) = 25 + 48 = 73
√Δ=√73
[tex]x_1=\frac{-5-\sqrt{73}}{2}\\x_2=\frac{-5+\sqrt{73}}{2}[/tex]
Może stosując wzory na Δ, x₁, x₂ jest łatwiej, ale potem trzeba jeszcze znać zasadę ustalania przedziałów w zależności od znaku przy x², co nie jest już takie intuicyjne.
A więc różnica f(x) - g(x) jest dodatnia dla x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞), czyli dla tego przedziału argumentów f(x) > g(x).
Natomiast wartości graniczne tych przedziałów wynoszą:
f(x₁) = g(x₁) ≅ -40,86
f(x₂) = g(x₂) ≅ 1,86