1. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 16.
2. Wyraz pierwszy tego ciągu wynosi -6, wyraz czwarty -162. Iloraz to q = 3.
3. [tex]a_n = 3 \cdot 5^{n-1}[/tex]
Zadanie dotyczy ciągu geometrycznego.
Pamiętajmy, że w takim ciągu iloraz (q) jest stały.
Wzór ogólny ciągu to:
[tex]a_n = a_1 \cdot q^{n-1}[/tex]
gdzie:
[tex]a_1[/tex] - pierwszy wyraz
q - iloraz ciągu
n - informuje, który to wyraz ciągu
Zadanie 1.
Dane z zadania:
[tex]a_3 = 4, a_4 = -2[/tex]
- Obliczamy najpierw iloraz tego ciągu.
Możemy zapisać, że:
[tex]a_3 \cdot q = a_4 \\\\4 \cdot q = -2 \\\\q = \cfrac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\\\[/tex]
- Obliczamy wyraz pierwszy:
[tex]a_3 = a_1 \cdot q^2 | : q^2 \ \ \ \rightarrow a_1 = \cfrac{a_3}{q^2} = \cfrac{4}{(-\frac{1}{2})^2} = \cfrac{4}{\frac{1}{4}} = 4 \cdot 4 = 16[/tex]
Wniosek: Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 16.
Zadanie 2.
Dane z zadania:
[tex]a_n = -2 \cdot 3^n[/tex]
- Obliczamy wyraz pierwszy oraz czwarty - podstawiamy do wzoru ogólnego:
[tex]n = 1\\\\a_1 = -2 \cdot 3^1 = -2 \cdot 3 = -6 \\\\\\n = 4 \\\\a_4 = -2 \cdot 3^4 = -2 \cdot 81 = -162 \\\\[/tex]
- Obliczamy iloraz (q) tego ciągu:
[tex]a_1 \cdot q^3 = a^4 | : a_1 \\\\q^3 = \cfrac{a_4}{a_1} \\\\q^3 = \cfrac{-162}{-6} \\\\q^3 = 27 \\\\q = \sqrt[3]{27} = 3[/tex]
Wniosek: Wyraz pierwszy tego ciągu wynosi -6, wyraz czwarty -162. Iloraz to q = 3.
Zadanie 3.
Należy wyznaczyć wzór ogólny ciągu o danych:
[tex]a_1 = 3\\\\a_3 = 5a_2[/tex]
Wzór ogólny ma postać:
[tex]a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}[/tex]
W takim razie potrzebujemy obliczyć iloraz (q) tego ciągu,
[tex]a_2 = a_1 \cdot q = 3q[/tex]
oraz
[tex]a_3 = a_1 \cdot q^2 = 3q^2[/tex]
Z zadania wiemy, że:
[tex]a_3 = 5a_2[/tex]
więc:
[tex]3q^2 = 5 \cdot 3q \\\\3q^2 - 15q = 0 \\\\[/tex]
Wyłączamy przed nawias 3q i otrzymujemy:
[tex]3q (q - 5) = 0 \\\\[/tex]
Przyrównujemy do 0 i otrzymujemy rozwiązania:
[tex]3q = 0 \ \ \ lub \ \ \ q-5 = 0 \\\\q = 0 \ \ \ lub \ \ \ q = 5[/tex]
Założenie:
[tex]q \neq 0[/tex] ponieważ nie jest to ciąg stały
więc:
[tex]q = 5[/tex]
Wniosek: Wzór ogólny ciągu:
[tex]a_n = 3 \cdot 5^{n-1}[/tex]
#SPJ1
