Najprościej będzie wyznaczyć miary kątów trójkąta o danych bokach (wyrażonych liczbami naturalnymi) korzystając z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex] gdzie α jest kątem leżącym na przeciw boku a.
a = 6
b = 10
c = 12
[tex]6^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos\alpha\\\\36=100+144-240\cos\alpha\\\\240\cos\alpha=208\qquad/:240\\\\\cos\alpha=\frac{208}{240}=0,8(6)\qquad\iff\qquad \alpha\approx 30^o[/tex]
analogicznie, jeśli kąt β leż na przeciw boku b:
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\\\10^2=6^2+12^2-2\cdot6\cdot12\cos\beta\\\\100=36+144-144\cos\beta\\\\144\cos\beta=80\qquad/:144\\\\\cos\beta=\frac{80}{144}=0,(5)\qquad\iff\qquad \beta\approx 56^o[/tex]
Oraz:
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\\\12^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10\cos\gamma\\\\ 144=36+100-120\cos\gamma\\\\120\cos\beta=-8\qquad/:120\\\\ \cos\gamma=\frac{-8}{144}\\\\ \cos\gamma=-0,0(6)\\\\ \cos(180^o-\gamma)=0,0(6)\qquad\iff\qquad 180^o-\gamma\approx 86^o\\\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\gamma\approx94^o[/tex]
a = 7
b = 11
c = 12
[tex]7^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cos\alpha\\\\49=121+144-264\cos\alpha\\\\264\cos\alpha=216\qquad/:264\\\\\cos\alpha=\frac{216}{264}=0,(81)\qquad\iff\qquad \alpha\approx 35^o[/tex]
i jeśli kąt β leż na przeciw boku b:
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\\\11^2=7^2+12^2-2\cdot7\cdot12\cos\beta\\\\112=49+144-168\cos\beta\\\\168\cos\beta=72\qquad/:168\\\\\cos\beta=\frac{72}{168}=0,(428571)\qquad\iff\qquad \beta\approx 65^o[/tex]
Oraz:
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\\\12^2=7^2+11^2-2\cdot7\cdot11\cos\gamma\\\\ 144=49+121-154\cos\gamma\\\\154\cos\beta=26\qquad/:154\\\\ \cos\gamma =\frac{26}{154}\\\\ \cos\gamma=0,(168831)\qquad\iff\qquad \gamma\approx 80^o[/tex]