Odpowiedź:
a)
(2x - 2)(x - 3) < (x - 3)(x - 4)
(2x - 2) < (x - 4)
(2x - 2) - (x - 4) < 0
2x - 2 - x + 4 < 0
x + 2 < 0
x < -2
x∈(-∞;2)
b)
(3x - 1)(x + 2) ≥ (x - 3)(2x - 1)
[tex]3x^{2} + 6x -x-2 \geq 2x^{2} -x-6x+3[/tex]
[tex]3x^{2}+5x-2 \geq 2x^{2}-7x+3[/tex]
[tex]3x^{2}-2x^{2}+5x+7x-2-3\geq 0[/tex]
[tex]x^{2}+12x-5 \geq 0[/tex]
Δ = [tex]b^{2} - 4ac = 12^{2}-4*1*(-5) = 144 + 20 = 164[/tex]
[tex]\sqrt{}[/tex]Δ = [tex]\sqrt{164} = \sqrt{41 * 4} = 2\sqrt{41}[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-12 - 2\sqrt{41}}{2 *1} = \frac{-12 - 2\sqrt{41}}{2} = -6 -\sqrt{41}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-12 + 2\sqrt{41}}{2 *1} = \frac{-12 + 2\sqrt{41}}{2} = -6 +\sqrt{41}[/tex]
[tex]a > 0[/tex]
x ∈ (-∞;-6 -[tex]\sqrt{41} >[/tex]∪<-6+[tex]\sqrt{41}[/tex];∞)
c)
(4x - 1)(4 - x) [tex]\leq[/tex] (2 - 3x)(x + 1)
[tex]16x - 4x^{2} -4+x \leq 2x + 2-3x^{2}-3x[/tex]
[tex]-4x^{2}+17x-4 \leq -3x^{2}-x+2[/tex]
[tex]-4x^{2}+3x^{2}+17x+x-4-2\leq 0[/tex]
[tex]-x^{2}+18x-6\leq 0[/tex]
Δ = [tex]b^{2} - 4ac = 18^{2} - 4*(-1)*(-6) = 324 + 24 = 348[/tex]
[tex]\sqrt{}[/tex]Δ = [tex]\sqrt{348} = \sqrt{87 * 4} = 2\sqrt{87}[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-b - \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{4 - 2\sqrt{87}}{2*(-1)} = \frac{4 - 2\sqrt{87}}{-2} = -2 +\sqrt{87}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-b + \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{4 + 2\sqrt{87}}{2*(-1)} = \frac{4 + 2\sqrt{87}}{-2} = -2 -\sqrt{87}[/tex]
a < 0
x ∈ (-∞;-2-[tex]\sqrt{87}[/tex]>∪<-2+[tex]\sqrt{87}[/tex];∞)
d)
[tex](2x-2)^{2} \geq (3x - 2)(x - 3)\\2x^2 - 8x + 4 \geq 3x^2 -9x-2x+6\\2x^2-3x^2-8x+9x+4-6\geq 0\\-x^2+x-2\geq 0[/tex]
Δ = [tex]b^2-4ac = 1 - 4*(-1)*(-2) = 1 + 8 = 9[/tex]
[tex]\sqrt{}[/tex]Δ = [tex]\sqrt{9} = 3[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-1 - 3}{2*(-1)} = \frac{-4}{-2} = 2[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{-1+3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1[/tex]
a < 0
x ∈ <-1;2>
e)
[tex]2x^2-3x+4 \geq -(x-1)^2-6\\2x^2-3x+4\geq -(x^2-2x+1)-6\\2x^2-3x+4\geq -x^2+2x-1-6\\2x^2-3x+4\geq-x^2+2x-7\\2x^2+x^2-3x+2x+4-7\geq 0\\3x^2-x-3\geq 0[/tex]
Δ = [tex]-1^2-4*3*(-3) = 1 + 36 = 37[/tex]
[tex]\sqrt{}[/tex]Δ = [tex]\sqrt{37}[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{1 - \sqrt{37}}{2*3} = \frac{1 - \sqrt{37}}{6}[/tex]
[tex]x_{2} = \frac{1 + \sqrt{37}}{2*3} = \frac{1 + \sqrt{37}}{6}[/tex]
a>0
x ∈ <[tex]\frac{1 - \sqrt{37}}{6};\frac{1 + \sqrt{37}}{6} >[/tex]
f)
[tex](2x+3)^2-9 < 8-(3-x)^2\\4x^2+12x+9-9 < 8-(9-6x+x^2)\\4x^2+12x < 8-9+6x-x^2\\4x^2+12x < -1+6x-x^2\\4x^2+x^2+12x-6x+1 < 0\\5x^2+6x+1 < 0[/tex]
Δ = [tex]b^2-4ac = 6^2-4*5*1 = 36-20 = 16[/tex]
[tex]\sqrt{}[/tex]Δ = [tex]\sqrt{16} = 4[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-6 - 4}{2*5} = \frac{-10}{10} = -1[/tex]
[tex]x_{1} = \frac{-6 + 4}{2*5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}[/tex]
a>0
x ∈ (-1;[tex]-\frac{1}{5}[/tex])
Szczegółowe wyjaśnienie:
W podpunkcie a skracamy sobie o jeden nawias, czyli (x-3), a następnie przerzucamy całą resztę na lewą stronę nierówności, aby po drugiej zostało nam zero. Równanie redukujemy, po czym przenosimy x na jedną stronę, a całą resztę na drugą. Zapisujemy wynik w postaci zakresu liczb.
b)
Tak samo jak w podpunkcie a, z tym że tutaj musimy wymnożyć nawiasy przez siebie po czym zredukować wyrazy podobne. Następnie przenosimy wszystko na jedną stronę. Zostaje nam równanie kwadratowe. Aby takie rozwiązać musimy wyliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (tzw. delta) ze wzoru, by następnie wyliczyć miejsca zerowe funkcji (x1 i x2). Następnie sprawdzając czy współczynnik kierunkowy funkcji (nasze a) jest większe lub mniejsze od zera. W tym wypadku jest większe, więc ramiona paraboli będą kierowały się ku górze. Zależy nam na wynikach większych lub równych zeru, więc zakres będzie się mieścił od nieskończoności do x1 oraz od x2 do nieskończoności.
c,d,e,f analogicznie jak powyżej. Wymnażamy sobie nawiasy, redukujemy wyrazy podobne, przerzucamy wszystko na jedną stronę, liczymy deltę, wyznaczamy miejsca zerowe, spoglądamy na współczynnik kierunkowy, aby określić czy ramiona funkcji idą ku górze czy na dół. Zapisujemy wynik w postaci zakresu.