Z twierdzenia sinusów wiemy, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego na przeciw tego boku jest stały o równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Czyli w trójkącie z załącznika z rysunkiem pomocniczym:
[tex]\dfrac a{\sin\alpha}=\dfrac b{\sin\beta}=\dfrac c{\sin\gamma}=2R[/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac a{\sin30^o}=2\cdot6\\\\\dfrac a{\frac12}=12\qquad/\cdot\frac12\\\\a=6\,cm[/tex] [tex]\dfrac b{\sin45^o}=2\cdot6\\\\\dfrac b{\frac{\sqrt2}2}=12\qquad/\cdot\frac{\sqrt2}2 \\\\b=6\sqrt2\ cm[/tex]
Pole trójkąta możemy policzyć jako połowę iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami, czyli tutaj;
[tex]P=\frac12ab\sin\gamma[/tex]
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, czyli trzeci kąt tego trójkąta to:
γ = 180° - α - β = 180° - 30° - 45° = 105°
Zatem:
[tex]P=\frac12\cdot6\cdot6\sqrt2\cdot\sin105^o=18\sqrt2\,\sin(180^o-105^o)=18\sqrt2\,\sin75^o=\\\\{}\quad=18\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt6\,+\sqrt2}4= 9\cdot\dfrac{\sqrt{12}+2}2=9\cdot\dfrac{2\sqrt{3}+2}2=9(\sqrt2+1)\,cm^2\\\\\large\boxed{\bold{P\approx21,7\,cm^2}}[/tex]
