Zadanie dotyczy trójkąta prostokątnego równoramiennego - należy obliczyć długość przeciwprostokątnej.
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:
[tex]a^2 + b^2 = c^2 \\\\[/tex]
gdzie:
a, b - długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym
c - długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym
Zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
[tex]x^2 + x^2 = (x + \sqrt{5})^2[/tex]
Pamiętajmy, że:
[tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/tex]
Wynika z tego, że prawa strona równania wynosi:
[tex](x + \sqrt{5} ) ^2 = x^2 +2 \cdotx \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = x^2 + 2\sqrt{5}x + 5[/tex]
Wracamy do równości z zadania:
[tex]2x^2 = x^2 +2 \sqrt{5}x + 5 \\\\2x^2 - x^2 -2\sqrt{5}x - 5 = 0\\\\x^2 - 2\sqrt{5}x - 5 = 0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe postaci:
[tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]
Skorzystamy z wyróżnika równania kwadratowego tzw. 'delty':
[tex]a = 1, b = -2\sqrt{5}, c = -5 \\\\\Delta = b^2 - 4ac= (-2\sqrt{5})^2 -4 \cdot 1 \cdot (-5) = 20 + 20 = 40\\\\\sqrt{\Delta } = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}[/tex]
Obliczamy pierwiastki równania:
x > 0 ponieważ długość nie może być liczbą ujemną
[tex]x_1=\cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \cfrac{ 2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} \ \ \ \ ujemna \rightarrow \ \ odpada\\\\\\x_2=\cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \cfrac{ 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}}{2 \cdot 1} = \cfrac{\not2^1(\sqrt{5}+\sqrt{10})}{\not2_1} = \sqrt{5} + \sqrt{10} \\\\[/tex]
Rozwiązaniem jest liczba:
[tex]x = \sqrt{5} + \sqrt{10}[/tex]
czyli:
Długość przeciwprostokątnej wynosi:
[tex]\boxed{x + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}}[/tex]
#SPJ1
