Równanie to ma tylko całkowite wartości dla m = {-1, 1, 2}
[tex]mx^2 - m^2x - 2 =0[/tex]
a = m
b = -[tex]m^2[/tex]
c = (-2)
Δ = [tex](-m^2)^2 - 4*m*(-2) = m^4 +8m = m(m^3+8)[/tex]
Dla m=0 równanie jest sprzeczne, ponieważ -2≠0, więc m ∈ R/{0}
Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki całkowite dla Δ>0
[tex]m(m^3+8) > 0\\[/tex]
[tex]m^3 + 8 > 0\\[/tex]
[tex]m^3 > (-8)\\\\[/tex]
[tex]m^3 > (-2)^3[/tex]
m > (-2), więc m ∈ (-2, +∞)
Kolejnym warunkiem, aby oba pierwiastki tego równania były całkowite, jest całkowity iloczyn i suma pierwiastków ze wzorów Viete'a.
Iloczyn pierwiastków ze wzoru Viete'a:
[tex]x_1x_2=\frac{c}{a} = \frac{(-2)}{m}[/tex]
Suma pierwiastków ze wzoru Viete'a:
[tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-m^2)}{m} = \frac{m^2}{m} = m[/tex]
Iloczyn jest liczbą całkowitą i [tex]m[/tex] również jest liczbą całkowitą.
A więc [tex]m[/tex] musi być więc dzielnikiem liczby (-2).
Aby tak było to możliwe wartości [tex]m[/tex] równają się -2, -1, 1 lub 2.
Suma pierwiastków również jest liczbą całkowitą, ponieważ [tex]m[/tex] jest liczbą całkowitą.
Z wcześniejszych obliczeń wynika, że:
m ∈ R/{0} ^ m ∈ (-2, +∞) ^ m ∈ {-2,-1,1,2}.
Musimy wykluczyć odpowiedź (-2), ponieważ nie należy do przedziału, więc otrzymujemy, że m ∈ {-1, 1, 2} i dla tych wartości równanie ma tylko całkowite pierwiastki.