Zadanie 1.
a)
[tex]2x^2-|x|-1\geq 0[/tex]
Zróbmy podstawienie:
[tex]t=|x|\geq 0[/tex]
Wtedy
[tex]t^2=|x|^2=x^2[/tex]
Nierówność ma teraz postać:
[tex]2t^2-t-1\geq 0\\\Delta=(-1)^2-4*2*(-1)=1+8=9\\\sqrt\Delta=3\\t_1=\frac{1-3}{2*2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\\t_2=\frac{1+3}{2*2}=\frac{4}{4}=1\\t\in(-\infty,-\frac{1}{2}\left > \cup\right < 1,+\infty)[/tex]
Ale z założenia [tex]t\geq 0[/tex], więc
[tex]t\in\left < 1,+\infty)[/tex]
czyli
[tex]t\geq 1\\|x|\geq 1\\x\geq 1\vee x\leq -1\\x\in(-\infty,-1\left > \cup\right < 1,+\infty)[/tex]
b)
[tex]5x^4+9x^2-2=0[/tex]
Zróbmy podstawienie:
[tex]t=x^2\geq 0[/tex]
Równanie ma teraz postać:
[tex]5t^2+9t-2=0\\\Delta=9^2-4*5*(-2)=81+40=121\\\sqrt\Delta=11\\t_1=\frac{-9-11}{2*5}=\frac{-20}{10}=-2 < 0\ \text{odrzucamy}\\t_2=\frac{-9+11}{2*5}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}[/tex]
Zatem
[tex]x^2=\frac{1}{5}\\x=-\sqrt{\frac{1}{5}}\vee x=\sqrt{\frac{1}{5}}\\x=-\frac{1}{\sqrt5}\vee x=\frac{1}{\sqrt5}\\x=-\frac{\sqrt5}{5}\vee x=\frac{\sqrt5}{5}\\x\in\{-\frac{\sqrt5}{5},\frac{\sqrt5}{5}\}[/tex]
c)
[tex]|x^2-5x|\leq 6\\x^2-5x\leq 6\land x^2-5x\geq -6\\x^2-5x-6\leq 0\land x^2-5x+6\geq 0[/tex]
Dla pierwszej nierówności:
[tex]\Delta=(-5)^2-4*1*(-6)=25+24=49\\\sqrt\Delta=7\\x_1=\frac{5-7}{2}=-1\\x_2=\frac{5+7}{2}=6\\x\in\left < -1,6\right >[/tex]
Dla drugiej nierówności:
[tex]\Delta=(-5)^2-4*1*6=25-24=1\\\sqrt\Delta=1\\x_1=\frac{5-1}{2}=2\\x_2=\frac{5+1}{2}=3\\x\in(-\infty,2\left > \cup\right < 3,+\infty)[/tex]
Ostatecznie biorąc część wspólną obu nierówności, mamy
[tex]x\in\left < -1,2\right > \cup\left < 3,6\right >[/tex]
Zadanie 2.
Z treści zadania liczby x i y muszą spełniać warunki:
[tex]x+y=20,\qquad x\geq 0,\ y\geq 0[/tex]
Stąd
[tex]y=20-x[/tex]
Zapiszmy sumę i kwadratów:
[tex]x^2+y^2=x^2+(20-x)^2=x^2+400-40x+x^2=2x^2-40x+400[/tex]
Współczynnik przy [tex]x^2[/tex] wynosi 2 i jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem wartość najmniejsza tej sumy będzie osiągana w wierzchołku. Stąd
[tex]x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-40)}{2*2}=\frac{40}{4}=10\\y=20-x=20-10=10[/tex]
Ostatecznie
[tex]20=10+10[/tex]
