Odpowiedź:
Zad.2
tgα - 14sinα = -14√10/3
Zad.3
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = 4/5 = 0,8
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początku zaczniemy od znaków funkcji trygonometrycznych w zależności od tego, w której ćwiartce znajduje się ramię końcowe danego kąta (patrz załącznik).
/tan - tangens, cot - cotangens, cos - cosecans, sec - secans
Zad. 2.
Mamy dane:
cosα = -3/7
α ∈ (90°, 180°)
Do obliczenia wartości sinus skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
sin²α + cos²α = 1
sin²α + (-3/7)² = 1
sin²α + 9/49 = 1 |-9/49
sin²α = 40/49 ⇒ sinα = ±√(40/49)
sinα = ±√(4 · 10)/7
sinα = ±2√10/7
II ćwiartka ⇒ sin > 0
stąd
sinα = 2√10/7
Do obliczenia wartości tangens skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
tgα = sinα/cosα
Podstawiamy:
tgα = 2√10/7 : (-3/7)
tgα = -2√10/7 · 7/3
tgα = -2√10/3
Obliczamy wartość wyrażenia:
tgα - 14sinα = -2√10/3 - 14 · 2√10/7
tgα - 14sinα = -2√10/3 - 4√10
tgα - 14sinα = -2√10/3 - 12√10/3
tgα - 14sinα = -14√10/3
Zad. 3.
Mamy dane:
ctgα = 3/5
α ∈ (0°, 90°)
Kąt α jest kątem ostrym. Stąd możemy wartości funkcji trygonometrycznych oprzeć na trójkącie prostokątnym (patrz załącznik).
Obierzmy oznaczenia jak na rysunku.
Wówczas:
ctgα = b/a
ctgα = 3/5
stąd
b = 3 i a = 5
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej c:
c² = a² + b²
podstawiamy:
c² = 5² + 3²
c² = 25 + 9
c² = 34 ⇒ c = √34
sinα = a/c ⇒ sinα = 5/√34
cosα = b/c ⇒ cosα = 3/√34
Podstawiamy do wyrażenia:
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = (5/√34 + 5 · 3/√34)/(15 · 3/√34 - 4 · 5/√34)
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = (5/√34 + 15/√34)/(45/√34 - 20/√34)
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = (20/√34)/(25/√34)
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = 20/√34 · √34/25
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = 20/25
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = 4/5
(sinα + 5cosα)/(15cosα - 4sinα) = 0,8
