W zadaniu musimy rozwiązać nierówność [tex]-x^4+x^3+6x^2\leq 0[/tex].
Rozwiązaniem nierówności jest: [tex]x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle3,+\infty)\cup\{0\}[/tex]
Zacznijmy od wyciągnięcia [tex]-x^2[/tex] przed nawias:
[tex]-x^2(x^2-x-6)\leq 0[/tex]
Przyrównajmy teraz wyrażenie po lewej stronie do zera, by obliczyć miejsca zerowe:
[tex]-x^2(x^2-x-6)= 0[/tex]
Dostajemy zatem:
[tex]-x^2=0\quad\vee\quad x^2-x-6=0[/tex]
Z pierwszego równania dostajemy pierwsze miejsce zerowe [tex]x_1=0[/tex], które jest podwójnym miejscem zerowym. Aby rozwiązać drugie równanie obliczamy deltę i miejsca zerowe:
[tex]x^2-x-6=0[/tex]
[tex]\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2[/tex]
[tex]x_3=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3[/tex]
Nasze miejsca zerowe to zatem:
[tex]z_1=0,x_2=-2,x_3=3[/tex]
Możemy teraz narysować wykres, pamiętając o tym, że jeśli współczynnik kierunkowy przy [tex]x[/tex] w największej potędze jest ujemny, to rysowanie zaczynamy od dołu, i w podwójnym miejscu zerowym odbijamy wykres (wykres w załączniku):
Możemy z wykresu odczytać, że
[tex]-x^2(x^2-x-6)\leq 0[/tex]
gdy:
[tex]x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle3,+\infty)\cup\{0\}[/tex]
#SPJ1
