Pole trójkąta ABC wynosi 6,25√3.
Rozwiązując to zadanie musimy zauważyć, że dorysowując wysokość padającą na bok AB utworzy nam się połowa trójkąta równobocznego.
Kąt CAD ma na pewno miarę 30°, gdyż jest to kąt przyległy do kąta 150°, a suma kątów przyległych musi być równa 180°.
Wysokość trójkąta równobocznego (odcinek AD) obliczymy korzystając ze wzoru:
h=[tex]\frac{\sqrt{3} }{2} a[/tex]
Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość 5√3, bo odcinek |AC|=5√3. Zatem:
[tex]h=\frac{\sqrt{3} * 5\sqrt{3} }{2} = \frac{15}{2} =7,5[/tex]
Odcinek |CD| to połowa długości ramienia trójkąta równobocznego, więc ma miarę 2,5√3.
Spójrzmy teraz na trójkąt CDB. Jest to trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków: |CB|=5√7 (przeciwprostokątna) oraz |CD|=2,5√3. Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość odcinka |DB|:
[tex](5\sqrt{7}) ^{2} = (2,5\sqrt{3} )^{2} + (DB)^{2} \\[/tex]
[tex]175 = 18,75+(DB)^{2} \\[/tex]
[tex](DB)^2=156,25\\\\[/tex]
DB = 12,5 lub DB= (-12,5) ||
Drugi wynik odrzucamy, ponieważ bok trójkąta nie może być ujemny.
Wiemy, że odcinek |DA| wynosi 7,5, więc odcinek |AB| będzie wynosił
12,5-7,5=5.
Teraz mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola trójkąta ABC.
Obliczmy go ze wzoru: [tex]P=\frac{ah}{2}[/tex], gdzie a to podstawa, czyli odcinek AB, a h to wysokość (odcinek CD)
[tex]P=\frac{5*2,5\sqrt{3} }{2} =6,25\sqrt{3}[/tex]
