Odpowiedź:
Zadanie 1.
Mamy trójkąt o bokach 13 cm, 10 cm, 13 cm.
Zacznijmy od obwodu trójkąta. Obwód to suma długości wszystkich boków, zatem musimy po prostu dodać te długości do siebie. Oznaczmy L - obwód trójkąta (czasami oznacza się go też jako Ob, ja we wszystkich zadaniach zostanę przy L). Obliczamy:
[tex]L = 13\text{ cm} + 10\text{ cm} + 13\text{ cm} = 36\text{ cm}[/tex]
Zatem obwód trójkąta wynosi 36 cm.
Teraz obliczymy pole trójkąta, korzystając ze wzoru:
[tex]P_{\triangle}=\frac{1}{2}ah[/tex]
gdzie a to długość podstawy, a h to wysokość.
Widzimy, że dwa z boków naszego trójkąta mają równą długość, zatem jest to trójkąt równoramienny. W takim trójkącie najłatwiej jest wziąć za podstawę najkrótszy bok, a wysokość opuścić na niego z wierzchołka między ramionami (patrz rysunek). Szukamy wysokości, czyli h. Widzimy, że wysokość dzieli podstawę na pół.
Spójrzmy teraz na połowę naszego trójkąta (na rysunku na niebiesko). Widzimy, że jest to trójkąt prostokątny (bo wysokość opada na podstawę zawsze pod kątem prostym). Znamy długość przeciwprostokątnej - 13 cm i jednej przyprostokątnej - 5 cm (połowa podstawy dużego trójkąta). Szukamy drugiej przeciwprostokątnej, czyli naszego h.
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Przypomnijmy, że ogólnie ma ono postać
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
gdzie a, b to przyprostokątne, a c - przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym.
Podstawmy nasze dane z zadania. Dostajemy
[tex]5^2+h^2=13^2[/tex]
Teraz musimy obliczyć:
[tex]5^2+h^2=13^2\quad||-5^2\\h^2=13^2-5^2\\h^2=169-25\\h^2=144\\h=\sqrt{144}\\h=12\text{ cm}[/tex]
Obliczyliśmy szukaną długość wysokości: h = 12 cm.
Podstawiamy tę wartość do wzoru na pole. Za a wstawiamy długość podstawy, czyli u nas 10 cm. Mamy
[tex]P_\triangle = \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot10\text{ cm}\cdot12\text{ cm}=\frac{1}{2}\cdot120\text{ cm}^2=60\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 60 cm², a jego obwód - 36 cm.
Zadanie 2.
Pole prostokąta obliczamy ze wzoru:
[tex]P=ab[/tex]
gdzie a i b to długości boków.
Wiemy, że jeden bok ma długość 15 cm. Przyjmijmy, że to bok a, [tex]a=15\text{ cm}[/tex]. Ten bok jest o 5 cm dłuższy od drugiego. Czyli drugi bok będzie o 5 cm krótszy od a. Możemy to zapisać równaniem:
[tex]a=b+5\text{ cm}[/tex]
Długość a znamy, chcemy obliczyć b. Przekształcamy:
[tex]a=b+5\text{ cm}\quad||-5\text{ cm}\\a-5\text{ cm}=b\\b=a-5\text{ cm}[/tex]
Teraz podstawiamy za a jego długość, czyli 15 cm:
[tex]b=a-5\text{ cm}=15\text{ cm}-5\text{ cm}=10\text{ cm}[/tex]
Obliczyliśmy, że drugi bok ma długość 10 cm. Teraz możemy obliczyć pole prostokąta:
[tex]P=ab=15\text{ cm}\cdot10\text{ cm}=150\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi 150 cm².
Zadanie 3.
Mamy obliczyć pole kwadratu, którego obwód wynosi 28 cm.
Wiemy, że kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe. Jeżeli zatem oznaczymy długość boku jako a, to obwód kwadratu wyniesie
[tex]L=a+a+a+a=4a[/tex]
Wiemy jednocześnie z zadania, że [tex]L=28\text{ cm}[/tex]. Połączmy te dwie informacje:
[tex]4a=28\text{ cm}\quad||:4\\a=7\text{ cm}[/tex]
Znamy długość boku kwadratu - 7 cm. Teraz obliczymy pole kwadratu, korzystając ze wzoru:
[tex]P_\square=a^2[/tex]
Wstawiamy a = 7 cm i dostajemy:
[tex]P_\square=(7\text{ cm})^2 = 7\text{ cm}\cdot 7\text{ cm} = 49\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole kwadratu wynosi 49 cm².
Zadanie 4.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h[/tex]
gdzie a i b to długości podstaw, a h - wysokość trapezu.
Długości podstaw odczytujemy z rysunku z zadania. W trapezie podstawy są zawsze równoległe do siebie - tutaj to są odcinki o długości 8 cm i 20 cm. Oznaczmy: a = 8 cm, b = 20 cm.
Szukamy wysokości (h). Najpierw wrysujmy wysokości w naszym trapezie - patrz rysunek. Zauważmy, że nasz trapez jest równoramienny (ramiona mają po 10 cm).
Skupmy się na dolnej podstawie (odcinku AB). W sumie ma on długość 20 cm. Zauważmy, że w środku trapezu jest prostokąt (EFCD), który ma podstawę CD długości 8 cm (to jest też górna podstawa trapezu). W takim razie odcinek EF też ma 8 cm. Skoro trapez ABCD jest równoramienny, to odcinki AE i FB są równe. Oznaczmy ich długość jako x. Wtedy w odcinku AB mamy
[tex]|AB|=\underbrace{x}_{|AE|} + \underbrace{8\text{ cm}}_{|EF|} + \underbrace{x}_{|FB|} = 20 \text{ cm}[/tex]
[tex]x+8\text{ cm}+x=20\text{ cm}\\2x+8\text{ cm}=20\text{ cm}\quad||-8\text{ cm}\\2x=12\text{ cm}\quad||:2\\x=6\text{ cm}[/tex]
Obliczyliśmy, że odcinki AE i FB mają po 6 cm. Dzięki tej informacji możemy obliczyć wysokość, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta oznaczonego na niebiesko (FBC).
W tym trójkącie przeciwprostokątna ma 10 cm, a przyprostokątna, którą znamy - 6 cm (to właśnie obliczyliśmy). Stąd
[tex]6^2+h^2=10^2\quad||-6^2\\h^2=10^2-6^2\\h^2=100-36\\h^2=64\\h=\sqrt{64}\\h=8\text{ cm}[/tex]
Znamy już wszystkie informacje potrzebne do obliczenia pola trapezu. Przypomnijmy, że mamy a = 8 cm, b = 20 cm i h = 8 cm oraz wzór:
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h[/tex]. Obliczamy:
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot(8\text{ cm}+20\text{ cm})\cdot8\text{ cm} = \frac{1}{2}\cdot 28\text{ cm}\cdot 8\text{ cm} = 112\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 112 cm².
Zadanie 5.
Znamy pole koła: [tex]81\pi\text{ cm}^2[/tex]. Mamy obliczyć jego obwód.
Wzór na pole koła to: [tex]P=\pi r^2[/tex]
A wzór na obwód koła to: [tex]L=2\pi r[/tex]
- w obu przypadkach r oznacza promień koła (okręgu).
Rozwiązujemy zadanie. Najpierw obliczymy promień, korzystając ze wzoru na pole, a potem wstawimy ten promień do wzoru na obwód, żeby uzyskać odpowiedź.
[tex]P=81\pi\text{ cm}^2\\P=\pi r^2[/tex]
[tex]81\pi\text{ cm}^2=\pi r^2\quad||:\pi\\81\text{ cm}^2=r^2\quad||\sqrt{\,}\\\sqrt{81\text{ cm}^2}=\sqrt{r^2}\\9\text{ cm}=r\\r=9\text{ cm}[/tex]
Obliczyliśmy promień - wynosi on 9 cm. Teraz wstawiamy r = 9 cm do wzoru na obwód:
[tex]L=2\pi r=2\pi\cdot9\text{ cm}=18\pi\text{ cm}[/tex]
Odpowiedź: Obwód koła wynosi 18π cm.
Zadanie 6.
Trójkąt na rysunku jest prostokątny (wskazuje na to kąt z zaznaczoną kropką). Jego przeciwprostokątna (bok naprzeciwko kąta prostego) ma długość 30 cm. Znamy długość jednej przyprostokątnej - 24 cm. Żeby obliczyć długość drugiej przyprostokątnej (którą oznaczymy h, bo jest to też wysokość), musimy zastosować twierdzenie Pitagorasa, tak jak w zad. 1 i 4. Mamy
[tex]x^2+24^2=30^2\quad||-24^2\\x^2=30^2-24^2\\x^2=900-576\\x^2=324\\x=18\text{ cm}[/tex]
Znamy już podstawę (a = 24 cm) i wysokość (h = 18 cm) tego trójkąta. Podstawiamy te dane do wzoru na pole i dostajemy
[tex]P_\triangle=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot24\text{ cm}\cdot18\text{ cm}=216\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 216 cm².
Zadanie 7.
Mamy obliczyć pole równoległoboku. Robimy to, korzystając ze wzoru:
[tex]P=ah[/tex]
gdzie a - podstawa, h - wysokość.
Wiemy z treści zadania, że podstawa ma długość 24 cm (a = 24 cm). Wiemy też, że wysokość jest 3 razy krótsza od podstawy. Musimy zatem podzielić długość podstawy przez 3, żeby dostać wysokość tego równoległoboku. Mamy
[tex]h=a:3=24\text{ cm}:3=8\text{ cm}[/tex]
Znamy podstawę (a) i wysokość (h). Wstawiamy do wzoru, żeby obliczyć pole:
[tex]P=ah=24\text{ cm}\cdot8\text{ cm}=192\text{ cm}^2[/tex]
Odpowiedź: Pole równoległoboku wynosi 192 cm².
