Dziedzina funkcji to zbiór argumentów (iksów), dla których dana funkcja ma sens liczbowy (da się z jej wzoru wyliczyć y).
To wyklucza m.in. iksy, przy których występowałoby dzielenie przez 0 (mianownik=0) oraz pierwiastkowanie liczby ujemnej pierwiastkiem parzystego stopnia (wyrażenie pod pierwiastkiem, które ma wartość ujemną).
W związku z tym dwa najczęstsze warunki przy wyznaczaniu dziedziny to:
- Wyrażenie z mianownika musi być różne od zera.
- Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne (≥0)
A.
[tex]f(x)=2x^3+4[/tex]
Nie ma liczby, która po podstawieniu za x zablokowałaby możliwość obliczeń, zatem:
D = R
B.
[tex]f(x)=\dfrac{5x-6}{\alpha}[/tex]
Tutaj również da się wyliczyć dla dowolnego x, ale parametr w mianowniku wymaga założenia dodatkowego:
D = R ∧ α ≠ 0
C.
[tex]f(x)=\dfrac{x-3}{(2x-6)}[/tex]
W mianowniku występuje niewiadoma, więc musimy wykluczyć x, dla którego mianownik byłby równy 0:
[tex]2x-6\ne0\\2x\ne6\qquad/:2\\x\ne3[/tex]
Czyli:
D = R \ {3}
D.
[tex]f(x)=\sqrt{x+2}[/tex]
Mamy niewiadomą pod pierwiastkiem drugiego stopnia, więc musimy wykluczyć argumenty, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem byłoby ujemne. Skoro nie może być ujemne, to musi być dodatnie lub równe 0:
[tex]x+2\geqslant0\\x\geqslant-2\\x\in\big < {-}2\,,\,\infty)[/tex]
Czyli:
D = <-2, ∞)
E.
[tex]f(x)=\dfrac{5x+10}{\sqrt{8-x}}[/tex]
Tu również mamy niewiadomą pod pierwiastkiem, ale dodatkowo ten pierwiastek znajduje się w mianowniku, co oznacza, że oprócz wartości ujemnych musi też wykluczyć 0 pod pierwiastkiem (bo √0=0). Zatem wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie:
[tex]8 - x > 0\\-x > -8\qquad/:(-1)\\x < 8\\x\in(-\infty\,,\,8)[/tex]
Czyli:
D = (-∞, 8)
F.
[tex]f(x)=\dfrac{x+3}{x^2-25}[/tex]
W mianowniku nie może być 0, więc:
[tex]x^2-25\ne0\\x^2\ne25\\x\ne5\quad\wedge\quad x\ne-5[/tex]
Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy 25 dla dwóch liczb (-5 i 5), więc obie musimy wykluczyć z dziedziny:
D = R \ {-5, 5}
G.
[tex]f(x)=\sqrt{x-4}+\dfrac{2x}{\sqrt{6-x}}[/tex]
Mamy dwa różne wyrażenia z niewiadomą pod pierwiastkiem, więc założenia musimy zrobić dla każdego osobno:
[tex]x-4\geqslant0\\x\geqslant4\\x\in\big < 4\,,\,\infty)[/tex] [tex]6-x > 0\\-x > -6\qquad/:(-1)\\x < 6\\x\in(-\infty\,,\,6)[/tex]
Ponieważ jest to jedna funkcja, oba te założenia muszą być spełnione jednocześnie, więc dziedziną funkcji jest część wspólna uzyskanych zbiorów:
D = <4, 6)
