Rysunek do zadania w załączniku.
Vmax? a? H?
Z twierdzenia pitagorasa wiemy, że:
[tex](2d)^2=(a\sqrt2)^2+H^2\\4d^2=2a^2+H^2[/tex]
[tex]V=a^2H[/tex]
Żeby nie bawić się z pierwiastkami, to wyliczymy sobie wartość [tex]a^2[/tex]:
[tex]4d^2=2a^2+H^2\\2a^2=4d^2-H^2\\a^2=2d^2-\frac12H^2[/tex]
Podstawiamy do wzoru na objętość:
[tex]V(H)=(2d^2-\frac12H^2)H=2d^2H-\frac12H^3[/tex]
Wyznaczamy dziedzinę funkcji V(H):
[tex]a > 0\\H > 0\\\sqrt{2d^2-\frac12H^2} > 0\\\frac12H^2-2d^2 < 0\\\frac12H^2 < 2d^2\\H^2 < 4d^2\\H < 2d, H > -2d[/tex]
Dziedzina to H ∈ (0, 2d)
Wyznaczamy pochodną funkcji V(H):
[tex]V'(H)=2d^2-\frac32H^2[/tex]
Szukamy miejsc zerowych pochodnej:
[tex]V'(H)=0 < = > 2d^2-\frac32H^2=0\\\frac32H^2=2d^2\\3H^2=4d^2\\H^2=\frac43d^2\\H=\frac{2\sqrt3}{3} d\\H=-\frac{2\sqrt3}{3} d[/tex]
Rysujemy wykres pochodnej (załącznik) i wyznaczamy z niej ekstrema.
Z wykresu wyczytujemy, że Vmax jest dla [tex]H=\frac{2\sqrt3}3d[/tex]
Wyliczamy a:
[tex]a^2=2d^2-\frac12*\frac{2\sqrt3}3d\\a^2=2d^2-\frac{\sqrt3}3d\\a^2=\frac{6d^2-\sqrt3d}{3}\\ a=\sqrt{\frac{6d^2-\sqrt3d}{3}}[/tex]
