a)
[tex]f(x)=x*|x+5|-|x+5|=|x+5|*(x-1)[/tex]
Dla [tex]x\in(-\infty,-5)[/tex] wyrażenie pod wartoscią bezwzględną jest ujemne, więc funkcja ma postać:
[tex]f(x)=-(x+5)(x-1)[/tex]
Znajdźmy jej miejsca zerowe i wierzchołek.
[tex]x_1=-5\\x_2=1\\p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+1}{2}=-2\\q=f(p)=-(-2+5)(-2-1)=-3*(-3)=9\\W=(-2,9)[/tex]
Dla [tex]x\in\left < -5,+\infty)[/tex] wyrażenie pod wartoscią bezwzględną jest nieujemne, więc funkcja ma postać:
[tex]f(x)=(x+5)(x-1)[/tex]
Znajdźmy jej miejsca zerowe i wierzchołek.
[tex]x_1=-5\\x_2=1\\p=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-5+1}{2}=-2\\q=f(p)=(-2+5)(-2-1)=3*(-3)=-9\\W=(-2,-9)[/tex]
Wykres w załączniku.
b)
[tex]x*|x+5|-10p=|x+5|+p^2\\x*|x+5|-|x+5|=p^2+10p[/tex]
Po przekształceniu równania widać, że jego lewa strona jest tej samej postaci, co funkcja f.
Z wykresu można odczytać, że równanie ma co najwyżej 2 rozwiązania, jeśli jego prawa strona [tex]p^2+10p[/tex] jest mniejsza lub równa -9 albo większa lub równa 0.
Zatem trzeba rozwiązać następujące nierówności.
[tex]p^2+10p\leq -9\qquad p^2+10p\geq 0[/tex]
I nierówność:
[tex]p^2+10p\leq -9\\p^2+10p+9\leq 0\\\Delta=10^2-4*1*9=100-36=64\\\sqrt\Delta=8\\p_1=\frac{-10-8}{2}=-9\\p_2=\frac{-10+8}{2}-1\\p\in\left < -9,-1\right >[/tex]
II nierówność:
[tex]p^2+10p\geq 0\\p(p+10)\geq 0\\p_1=0\\p_2=-10\\p\in(-\infty,-10\left > \cup\right < 0,+\infty)[/tex]
Ostatecznie biorąc sumę obu rozwiązań, mamy
[tex]p\in(-\infty,-10\left > \cup\right < -9,-1\left > \cup\right < 0,+\infty)[/tex]
