Odpowiedź:
a)x^6+ 6x^5+ 9x^4 = 0
x⁶+6x⁵+9x⁴=0
x⁴(x²+6x+9)=0
x⁴=0 lub
x²+6x+9=0
i teraz korzystamy z wzoru na deltę gdzie
ax²+bx+c=0 czyli:
a jest przed x²(jeśli nie ma przed x² liczby znaczy że jest jedynka) b jest przed x, a c jest bez x
czyli
a=1
b=6
c=9
deltę oznaczamy ∆ i ma ona wzór:
∆=b²-4ac
podstawiamy do wzoru:
∆=6²-4•1•9
∆=36-36
∆=0
teraz tak:
∆=0 czyli jest jedno rozwiązanie i korzystamy ze wzoru:
[tex]x_{0} = \frac{ - b}{2a} [/tex]
gdyby ∆ wyszła większa od zera mamy 2 rozwiązania, które wyliczymy ze wzorów:
[tex]x_{1} = \frac{ - b - \sqrt{∆} }{2a} [/tex]
[tex]x_{2} = \frac{ - b + \sqrt{∆} }{2a} [/tex]
gdy delta będzie mniejsza od zera równanie nie ma rozwiązania (każda liczba podstawiona do równania sprawi, że prawa strona równania nie będzie równa lewej stronie)
i dalej rozwiązujemy zgodnie z tym że delta wyszła 0 ma jedno rozwiązanie:
x=(-6)/(2•1)
x=(-3)
odp. rozwiązaniami równania jest 0 lub -3
i zgodnie z powyższym reszta
b) x^5=-8x²
x⁵=(-8x²) |+8x² (obustronnie)
x⁵+8x²=0
x²(x³+8)=0
x²=0 lub x³+8=0
x³+8=0
spróbuję pogrupować wg wzorów skróconego mnożenia które powinniśmy znać na pamięć by potrafić rozwiązać tego typu równanie, jeśli jeszcze ich nie znasz, proszę naucz się bo bez tego się niestety nie da, spróbuję wytłumaczyć "od tyłu" dlaczego taki, a nie inny wzór najpierw rozkładając na składniki "po jego rozwiązaniu" a potem składając "do kupy" w postaci wzoru ;)
x³+8=0 rozkładam na:
x³-2x²+4x+2x²-4x+8=0 zauważ że x² i x się przy tym redukują i zostaje samo x³+8 czyli nasz wzór, można to zapisać jako:
(x+2)(x²-2x+4)=0 i to nasz wzór który powinniśmy kojarzyć ;)
następnie analogicznie nasze początkowe równanie może wyglądać jako
x⁵+8x=0
x²(x³+8)=0
x²(x+2)(x²-2x+4)=0
rozwiązania to
x²=0 lub x+2=0 lub x²-2x+4=0
czyli
x=0 lub x=(-2) lub
x²-2x+4=0
∆=(-2)²-4•1•4=4-16=(-12) - delta ujemna więc z tego brak rozwiązań
czyli rozwiązaniem naszego równania są tylko liczby 0 i (-2)
c) x^4+4x^2+4=0
x⁴+4x²+4=0 znów wzór skróconego mnożenia który powinieneś znać na pamięć, rozkłada się tak:
(x²+2)²=x⁴+4x²+4
czyli
x⁴+4x+4=0
(x²+2)²=0
x²+2=0
x²≠(-2) - ponieważ każda liczba do kwadratu jest dodatnia, a wyszła nam ujemna więc liczba nie może być rozwiązaniem - równania nie spełnia żadna liczba a więc równanie nie ma rozwiązania
d) 3x³+x²-9x-3=0 grupujemy na dwa identyczne nawiasy
x²(3x+1)-3(3x+1)=0 łączymy resztę w drugi nawias
(x²-3)(3x+1)=0
x²-3=0 lub 3x+1=0
x²=3 lub 3x=(-1)
x=√3 lub x=(-⅓)
rozwiązaniem równania jest √3 lub (-⅓)
e) x³-5x²+6x = 0
x(x²-5x+6)=0
x=0
lub
x²-5x+6=0
∆= (-5)²-4•1•6=25-24=1 ∆>0 więc 2 rozwiązania wg wzorów podanych w przykładzie pierwszym:
X1= [ -(-5)-√(1) ] / (2•1)
X1= (5-1)/2
X1=4/2
X1=2
lub
X1= [ -(-5)+√(1) ] / (2•1)
X1= (5+1)/2
X1=6/2
X1=3
rozwiązaniem równania x³-5x²+6x = 0 są 0 lub 2 lub 3