Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]
Niech:
[tex]A=(1,1,1)[/tex] i [tex]B=(2,3,3)[/tex]
Wektor kierunkowy prostej [tex]l[/tex] przechodzącej przez punkty [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex]:
[tex]\vec{u}=\vec{AB}=[1,2,2][/tex]
Ponadto [tex]C=(3,7,6) \in l[/tex]. Zatem:
[tex]\vec{v}=\vec{CA}=[2,6,5][/tex]
Odległość punktu [tex]C[/tex] od prostej [tex]l[/tex] dana jest wzorem:
[tex]$d=\frac{|\vec{v} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}[/tex]
Mamy:
[tex]\vec{v} \times \vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&6&5\\1&2&2\end{array}\right|=[2,1,-2][/tex]
[tex]|\vec{v} \times \vec{u}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{9}=3[/tex]
[tex]$|\vec{u}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}} =\sqrt{9}=3[/tex]
Zatem:
[tex]$d=\frac{3}{3} } =1[/tex]
Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]
Niech:
[tex]$A=(1,1,1)[/tex], [tex]B=(3,4,3)[/tex], [tex]C=(7,6,7)[/tex], [tex]P=(7,6,3)[/tex]
Najpierw wyznaczamy wektory równoległe do płaszczyzny:
[tex]$\vec{u}=\vec{AB}=[2,3,2][/tex]
[tex]$\vec{v}=\vec{AC}=[6,5,6][/tex]
Wektor normalny płaszczyzny:
[tex]\vec{n}=\vec{u} \times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&3&2\\6&5&6\end{array}\right|=[8,0,-8][/tex]
Równanie płaszczyzny:
[tex]$\pi : 8(x-1)+0(y-1)-8(z-1)=0[/tex]
[tex]$\pi :8x-8z=0[/tex]
[tex]$\pi : x-z=0[/tex]
Wzór na odległość punktu [tex]P=(x_{0},y_{0},z_{0})[/tex] od płaszczyzny [tex]\pi :Ax+By+Cz+D=0[/tex] :
[tex]$d(P,\pi)=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}[/tex]
Mamy:
[tex]$d=\frac{|1 \cdot 7 + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 6+0|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]