Rozwiązane

Wyznacz zbiór rozwiązań równania wymiernego.



Wyznacz Zbiór Rozwiązań Równania Wymiernego class=

Odpowiedź :

Tabiaszcz

Wyrażenie to:

1] jest równe 0 dla x zerującego licznik;

2] mianownik musi być różny od 0, więc x zerujące mianownik nie może być rozwiązaniem.

Obliczenia dla 1]:

[tex]x-(x^2-x-6)=0\\\\x-x^2+x+6=0\\\\-x^2+2x+6=0\\\\x^2-2x-6=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-6)=4+24=28\\\\\sqrt{28}=2\sqrt{7}\\ \\ x_1=\frac{-(-2)-2\sqrt{7} }{2\cdot1} =\frac{2-2\sqrt{7} }{2}=1-\sqrt{7}\\ \\ x_2=1+\sqrt{7}[/tex]

Obliczenia dla 2]

[tex]x^2-4\ne0\\\\x^2\ne4\\\\x_a\ne-2 \\x_b\ne2[/tex]

Liczby z 2] nie wykluczają rozwiązań z 1], więc x1 i x2 to rozwiązania tego równania

Animaldk

Odpowiedź:

x ∈ {1 - √7; 1 + √7}

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zaczynamy od określenia dziedziny równania:

[tex]\mathbb{D}:x^2-4\neq0\qquad|+4\\\\x^2=4\Rightarrow x\neq\pm\sqrt4\\\\x\neq-2\ \wedge\ x\neq2\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-2,\ 2\}}[/tex]

Rozwiązujemy równanie:

[tex]\dfrac{x-(x^2-x-6)}{x^2-4}=0[/tex]

ułamek jest równy 0, gdy jego licznik jest równy 0. Stąd mamy równanie:

[tex]x-(x^2-x-6)=0\\\\x-x^2+x+6=0\\\\-x^2+2x+6=0[/tex]

Równanie rozwiążemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego, tzw. DELTY:

ax² + bx + c = 0

Δ = b² - 4ac

Jeżeli Δ < 0, to równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych (nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych).

Jeżeli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci -b/2a.

Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania postaci (-b ± √Δ)/(2a).

Mamy

a = -1, b = 2, c = 6

Δ = 2² - 4 · (-1) · 6 = 4 + 24 = 28 > 0

√Δ = √28 = √(4 · 7) = √4 · √7 = 2√7

x₁ = (-2 - 2√7)/(2 · (-1))

x₁ = (-2 - 2√7)/(-2)

x₁ = 1 + √7

x₂ = (-2 + 2√7)/(2 · (-1))

x₂ = (-2 + 2√7)/(-2)

x₂ = 1 - √7

Inne Pytanie