Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby zbadać monotoniczność ciągu, należy zbudować następny wyraz (n + 1) i wykonać różnicę między wyrazem następnym i poprzednim.
Jeżeli ta różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący.
Jeżeli różnica jest ujemna, to ciąg jest malejący.
Jeżeli różnica wynosi 0, to ciąg jest stały.
Jeżeli nie można określić znaku różnicy, to ciąg nie jest monotoniczny.
Mamy ciąg:
Budujemy wyraz aₙ₊₁:
Badamy różnicę:
aₙ₊₁ - aₙ = (√2)ⁿ⁺¹ - (√2)ⁿ = (√2)ⁿ · (√2 - 1)
(√2)ⁿ jest dodatnie
(√2 - 1) jest dodatnie
stąd
(√2)ⁿ · (√2 - 1) jest dodatnie