ZAD.1
Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (aₙ), w którym a₁ = √5, a iloraz q = -√5.
Suma n wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:
[tex]S_n=a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}[/tex]
Mamy dane:
[tex]a_1=\sqrt5,\ q=-\sqrt5,\ n=100[/tex]
Podstawiamy:
[tex]S_{100}=\sqrt5\cdot\dfrac{1-(-\sqrt5)^{100}}{1-(-\sqrt5)}=\sqrt5\cdot\dfrac{1-(\sqrt5)^{100}}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-\sqrt5\cdot(\sqrt5)^{100}}{1+\sqrt5}\cdot\dfrac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5}\\\\=\dfrac{\sqrt5-5-\sqrt5\cdot(\sqrt5)^{100}+5\cdot(\sqrt5)^{100}}{1^2-(\sqrt5)^2}=\dfrac{\sqrt5-5-\sqrt5\cdot(\sqrt5)^{2\cdot50}+5\cdot(\sqrt5)^{2\cdot50}}{1-5}\\\\=\dfrac{\sqrt5-5-\sqrt5\cdot\left[\left(\sqrt5\right)^2\right]^{50}+5\cdot\left[\left(\sqrt5\right)^2\right]^{50}}{-4}=\dfrac{\sqrt5-5-5^{50}\sqrt5+5\cdot5^{50}}{-4}\\\\=\dfrac{5+5^{50}\sqrt5-5^{51}-\sqrt5}{4}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{S_{100}=\dfrac{5+5^{50}\sqrt5-5^{51}-\sqrt5}{4}}[/tex]
ZAD.2
Do banku wpłacono 5000 zł na lokatę oprocentowaną 2,4% w skali roku, z kapitalizacją miesięczną. Po jakim czasie odsetki będą większe niż 300zł.
Jako, że odsetki są kapitalizowane co miesiąc, to musimy obliczyć miesięczne oprocentowanie:
[tex]\dfrac{2,4\%}{12}=0,2\%[/tex]
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]K_k=K_p\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n[/tex]
[tex]K_k[/tex] - kapitał końcowy
[tex]K_p[/tex] - kapitał początkowy
[tex]p[/tex] - liczba procentów
[tex]n[/tex] - liczba okresów kapitalizacyjnych
Układamy nierówność:
[tex]5000\cdot\left(1+\dfrac{0,2}{100}\right)^n > 5000+300[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex]5000\cdot(1+0,002)^n > 5300\qquad|:5000\\\\1,002^n > 1,06[/tex]
Musimy znaleźć wartość n.
[tex]1,002^{10}\approx1,0202[/tex]
[tex]1,002^{20}\approx1,0408\\\\1,002^{28}\approx1,0575\\\\1,002^{29}\approx1,0597\\\\1,002^{30}\approx1,0612[/tex]
Czyli
[tex]1,002^n > 1,06\Rightarrow n > 29[/tex]