Twierdzenie o reszcie {z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-k}:
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian postaci x-k wynosi W(k).
(jest liczbą, jaką otrzymamy w wyniku podstawienia k za x do wielomianu W)
Z twierdzenia Bezouta wiemy, że:
Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-k jeżeli reszta z dzielenia wynosi 0.
[tex]W(x) = x^3-x^2+ax+b[/tex]
Pierwszy warunek:
Reszta z dzielenia W(x) przez (x+3) wynosi 0.
mamy: x - k = x + 3, czyli k = -3
Czyli: [tex]W(-3)=0[/tex]
Podstawiając k do wielomianu otrzymujemy:
[tex]W(-3) =(-3)^3-(-3)^2+a(-3)+b=-27-9-3a+b=-36-3a+b[/tex]
Stąd:
[tex]0=-36-3a+b\\\\3a-b=-36[/tex]
I drugi warunek:
Reszta z dzielenia W(x) przez (x-3) wynosi 6.
mamy: x - k₂ = x - 3, czyli k₂ = 3
Czyli: [tex]W(3)=6[/tex]
Podstawiając k₂ do wielomianu otrzymujemy:
[tex]W(3) =3^3-3^2+a\cdot3+b=27-9+3a+b=18+3a+b[/tex]
Stąd:
[tex]18+3a+b=6\\\\3a+b=-12[/tex]
Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie, zatem:
[tex]\underline{\begin{cases}3a-b=-36\\3a+b=-12 \end{cases}}\\{}\quad6a=-48\qquad/:6\\{}\quad\ \, a=-8\\\\3a+b=-12\\b=-12-3a\\b=-12-3\cdot(-8)\\b=-12+24\\b=12[/tex]
Odp.: a = -8, b = 12
