Cześć!
[tex]f(x)=\frac{x^2}{x-2}[/tex]
1. Dziedzina:
[tex]x-2\not= 0 \iff x\not=2[/tex]
[tex]x \in (-\infty; 2) \ \cup \ (2;+\infty)[/tex]
2. Miejsca zerowe:
[tex]f(x)=0 \iff \frac{x^2}{x-2}=0 \ \wedge \ x\in\mathrm{D} \iff x^2=0 \ \wedge \ x\in\mathrm{D} \iff x\in\{0\}[/tex]
3. Punkt przecięcia z osią OY:
[tex]f(0) = \frac{0^2}{0-2} = \frac{0}{-2} = 0[/tex]
Ten punkt to [tex](0;0)[/tex]
4. Granice na krańcach określoności:
[tex]\lim_{x \to -\infty} (\frac{x^2}{x-2}) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x\cdot x}{x(1-\frac{2}{x})}) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x}{1-\frac{2}{x}}) = -\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to 2^{-}}(\frac{x^2}{x-2}) \ [\frac{4}{0^-}] = -\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to 2^{+}}(\frac{x^2}{x-2}) \ [\frac{4}{0^+}] = +\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x\cdot x}{x(1-\frac{2}{x})}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x}{1-\frac{2}{x}}) = \infty[/tex]
5. Asymptoty:
Korzystając z granic w punkcie 4:
Prosta o równaniu [tex]x=a[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji y=f(x), jeśli prawostronna i lewostronna granica w punkcie a jest niewłaściwa, tzn. [tex]\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \ \wedge \ \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to 2^{-}}(\frac{x^2}{x-2}) \ [\frac{4}{0^-}] = -\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to 2^{+}}(\frac{x^2}{x-2}) \ [\frac{4}{0^+}] = +\infty[/tex]
Obie granice są niewłaściwe, zatem w [tex]x=2[/tex] istnieje asymptota pionowa
Prosta [tex]y=b[/tex] jest asymptotą poziomą wykresu funkcji y=f(x), jeśli istnieje skończona granica [tex]\lim_{x \to \pm\infty} f(x)=b[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} (\frac{x^2}{x-2}) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x\cdot x}{x(1-\frac{2}{x})}) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x}{1-\frac{2}{x}}) = -\infty[/tex]
Granica jest niewłaściwa, więc nie istnieje asymptota pozioma w minus nieskończoności
[tex]\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x\cdot x}{x(1-\frac{2}{x})}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x}{1-\frac{2}{x}}) = \infty[/tex]
Granica jest niewłaściwa, więc nie istnieje asymptota pozioma w plus nieskończoności
Prosta o równaniu [tex]y=ax+b[/tex] jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y=f(x), jeśli istnieją skończone granice:
[tex]a=\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{f(x)}{x})[/tex] i [tex]b= \lim_{x \to \pm\infty} [f(x)-ax][/tex]
[tex]a=\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{\frac{x^2}{x-2}}{x}) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2}{x^2-2x}) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2}{x^2(1-\frac{2}{x})}) = \\\\=\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{1}{1-\frac{2}{x}}) = 1[/tex]
[tex]b= \lim_{x \to \pm\infty} [f(x)-ax] = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2}{x-2}-1x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2-x^2+2x}{x-2}) =\\\\=\lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2x}{x-2}) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{2}{1-\frac{2}{x}}) = \frac{2}{1}=2[/tex]
Asymptota ukośna ma równanie [tex]y=x+2[/tex]
6. Przedziały monotoniczności
[tex]f'(x)=\frac{2x\cdot(x-2)-1x^2}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=0 \iff \frac{x^2-4x}{(x-2)^2} = 0 \iff x(x-4)=0 \iff x\in \{0;4\}[/tex]
Rysujemy wykres (załącznik pierwszy)
Odczytujemy z wykresu:
[tex]f'(x) > 0 \iff x \in (-\infty;0) \ \cup \ (4;+\infty)\\\\f'(x) < 0 \iff x\in(0;2) \ \cup \ (2;4)[/tex]
Rysujemy tabelkę, załącznik 2:
[tex]f(x)\nearrow \iff x \in (-\infty; 0\rangle, \ x\in \langle4;+\infty)\\\\f(x)\searrow \iff x \in \langle0;2), \ x\in (2;4\rangle[/tex]
7. Ekstrema
Z tabelki odczytujemy, że [tex]f_{max}=0 \iff x=0[/tex] i [tex]f_{min}=8 \iff x=4[/tex]
8. Przedziały wklęsłości i wypukłości
Funkcja f(x) jest wypukła, jeśli [tex]f''(x) > 0[/tex].
Funkcja f(x) jest wklęsła jeśli [tex]f''(x) < 0[/tex].
Liczymy drugą pochodną:
[tex]f''(x)=(\frac{x^2-4x}{(x-2)^2})' = \frac{(2x-4)(x-2)^2-1\cdot2(x-2)\cdot(x^2-4x)}{(x-2)^4} = \frac{8x-16}{(x-2)^4} = \frac{8}{(x-2)^3}[/tex]
[tex]f''(x) > 0 \iff \frac{8}{(x-2)^3} > 0 \iff 8(x-2)^3 > 0 \iff (x-2)^3 > 0 \iff \\\\ \iff x-2 > 0 \iff x > 2[/tex]
[tex]f''(x) < 0 \iff x < 2[/tex]
Wypukła dla [tex]x > 2[/tex]
Wklęsła dla [tex]x < 2[/tex]
9. Punkty przegięcia
[tex]f''(x)=0 \iff \frac{8}{(x-2)^3} = 0 \iff 8=0[/tex], co jest sprzecznością. Brak punktów przegięcia.
10. Wykres - załącznik trzeci.
Pozdrawiam,
Michał.
