ZADANIE 3
V = 64√2 cm³
Dane:
α = 30° - kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej ściany bocznej
D = 8 cm - przekątna graniastosłupa
Szukane:
V=?
Rozwiązanie:
Pierwszym etapem będzie sporządzenie rysunku pomocniczego, który znajduje się w załączniku.
Oznaczenia:
D - przekątna graniastosłupa
a - krawędź boczna podstawy
d - przekątna ściany bocznej
H - wysokość graniastosłupa
α - kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do przekątnej ściany bocznej
Teraz możemy obliczyć długość krawędzi podstawy (a) korzystając z sinusa kąta α.
[tex]sin\alpha =\frac{a}{D}\\ \frac{1}{2}=\frac{a}{8}\\ 2a=8\\[/tex]
a = 4 cm
Korzystając z trygonometrii, możemy także obliczyć długość przekątnej ściany bocznej. W tym celu skorzystamy z cosinusa kąta α.
[tex]cos\alpha =\frac{d}{D} \\\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{d}{8}\\ 2d=8\sqrt{3}[/tex]
d = 4√3 cm
Posiadając długość krawędzi oraz przekątnej ściany bocznej, możemy obliczyć wysokość graniastosłupa. W tym celu, posłużymy się twierdzeniem Pitagorasa.
[tex]a^2+H^2=d^2\\H^2=d^2-a^2\\H=\sqrt{d^2-a^2} \\H=\sqrt{48-16}\\ H=\sqrt{32}\\[/tex]
H = 4√2 cm
Ostatnim krokiem jest obliczenie objętości tego graniastosłupa, która jest iloczynem pola podstawy i wysokości graniastosłupa.
[tex]V=P_p*H\\V=4^2*4\sqrt{2}[/tex]
V = 64√2 cm³
ZADANIE 4
α = 37°, V = 18√3 cm³
Dane:
H = 3 cm - wysokość graniastosłupa
a = 2 cm - krawędź podstawy
Szukane:
kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do jego podstawy oraz objętość graniastosłupa
Rozwiązanie:
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, pierwszym krokiem będzie sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczenia:
α - kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a podstawą
H - wysokość graniastosłupa
a - krawędź boczna podstawy
D - przekątna graniastosłupa
d - przekątna podstawy
Wiedząc, że graniastosłup jest prawidłowy, możemy obliczyć długość przekątnej podstawy:
[tex]d=2a\\[/tex]
d = 4 cm
Posiadając długość przekątnej podstawy i wysokość graniastosłupa, możemy obliczyć długość przekątnej graniastosłupa z twierdzenia pitagorasa.
[tex]D^2=H^2+d^2\\D=\sqrt{H^2+d^2}\\ D=\sqrt{9+16}\\ D=\sqrt{25}\\[/tex]
D = 5 cm
Teraz musimy wyznaczyć miarę kąta α. Wykonamy to korzystając z sinusa kąta α.
[tex]sin\alpha =\frac{H}{D} \\sin\alpha =\frac{3}{5} \\sin\alpha =0,6\\[/tex]
α=37°
Ostatnim krokiem będzie policzenie objętości. Ten graniastosłup w swojej podstawie ma 6 trójkątów równobocznych.
[tex]V=P_p*H\\V=6*\frac{a^2\sqrt{3} }{4} *H\\V=6*\frac{4\sqrt{3} }{4} *3\\[/tex]
V = 18√3 cm³
