Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} e^{x} dxdy[/tex]
Rysunek obszaru całkowania w załączniku.
Zapis analityczny obszaru całkowania:
[tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq x\leq \ln 2 \wedge e^{x}\leq y\leq 2\}[/tex]
Zatem:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} e^{x} dxdy=\int\limits^{\ln2}_{0} \Bigg(\int\limits^{2}_{e^{x}} e^{x} dy\Bigg)dx=\int\limits^{\ln2}_{0}e^{x}(2-e^{x}) \ dx=\int\limits^{\ln2}_{0}-e^{2x}+2e^{x} \ dx=[/tex]
[tex]$-\frac{1}{2} e^{2x}+2e^{x} \Bigg|^{\ln2}_{0}=2-\frac{3}{2} =\frac{1}{2}[/tex]
Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \cos(x+y)dxdy[/tex]
Rysunek obszaru całkowania w załączniku.
Zapis analityczny obszaru całkowania:
[tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq x\leq \pi \wedge x\leq y\leq \pi\}[/tex]
Zatem:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \cos(x+y)dxdy=\int\limits^{\pi}_{0}\Bigg(\int\limits^{\pi}_{x} \cos(x+y) \ dy\Bigg)dx=\int\limits^{\pi}_{0} \sin(x+y) \Bigg|^{\pi}_{x} dx=[/tex]
[tex]$\int\limits^{\pi}_{0} -\sin x -\sin2x \ dx=\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x \Bigg|^{\pi}_{0}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} =-2[/tex]
