Promień okręgu, poprowadzony do punktu styczności z prostą, tworzy z tą prostą kąt prosty.
Zatem trójkąt APS jest prostokątny, czyli z tw. Pitagorasa:
[tex]|AS|^2=3^2+4^2\\\\|AS|^2=9+16\\\\|AS|^2=25\\\\|AS|=5[/tex]
BS jest promieniem półkręgu, czyli ma długość 3. Stąd:
|AB| = |AS| + |BS| = 5 + 3 = 8
Kąt przy wierzchołku A jest kątem wspólnym trójkątów ABC i APS i oba te trójkąty są prostokątne. Skoro mają dwa kąty te same to z sumy kątów w trójkącie wynika, że trzeci kąt również mają taki sam.
Czyli z cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ABC i APS są podobne.
W trójkątach podobnych stosunek odpowiednich boków jest stały:
[tex]\dfrac{|AP|}{|AB|}=\dfrac{|PS|}{|BC|}=\dfrac{|AS|}{|AC|}[/tex]
Stąd: oraz:
[tex]\dfrac{|AP|}{|AB|}=\dfrac{|PS|}{|BC|}\\\\\dfrac48=\dfrac3{|BC|}\\\\ 4\cdot|BC|=24\qquad/:4\\\\|BC|=6[/tex] [tex]\dfrac{|AP|}{|AB|}=\dfrac{|AS|}{|AC|}\\\\\dfrac48=\dfrac5{|AC|}\\\\4\cdot|AC|=40\qquad/:10\\\\|AC|=10[/tex]
Zatem:
Obwód trójkąta:
Obw. = |AB| + |BC| + |AC| = 8 + 6 + 10 = 24
