Postać ogólna równania prostej:
Ax + By + C = 0
Postać kierunkowa równania prostej:
y = ax + b
a - współczynnik kierunkowy
Z postaci ogólnej współczynnik kierunkowy możemy określić jako:
[tex]a=-\dfrac{A}{B}[/tex]
Twierdzenie:
Niech dane będą proste m: y = a₁x + b₁ i n: y= a₂x + b₂ wówczas:
Mamy dane równanie prostej w postaci ogólnej:
8x + 2y - 6 = 0 lub 8x - 2y - 6 = 0
Obliczmy współczynnik kierunkowy:
[tex]a=-\dfrac{8}{2}\ \vee\ a=-\dfrac{8}{-2}\\\\\boxed{a=-4}\ \vee\ \boxed{a=4}[/tex]
Obliczmy współczynnik kierunkowy szukanej prostej:
[tex]-4a'=-1\ \vee\ 4a'=-1\\\\\boxed{a'=-\dfrac{1}{4}}\ \vee\ \boxed{a'=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Wstępnie równanie kierunkowe szukanej prostej ma postać:
[tex]y=-\dfrac{1}{4}x+b\ \vee\ y=\dfrac{1}{4}x+b[/tex]
Szukana prosta ma przechodzić przez punkt P(-8, 3). W związku z tym, współrzędne punktu muszą spełniać równanie prostej.
Wstawiamy współrzędne punktu P do równania prostej i obliczamy wartość b:
[tex]P(-8,\ 3)\to x=-8,\ y=3\\\\y=-\dfrac{1}{4}x+b\\\\-\dfrac{1}{4}\cdot(-8)+b=3\\\\2+b=3\qquad|-2\\\\\boxed{b=1}\\\\y=\dfrac{1}{4}x+b\\\\\dfrac{1}{4}\cdot(-8)+b=3\\\\-2+b=3\qquad|+2\\\\\boxed{b=5}[/tex]
Stąd mamy równanie:
[tex]\boxed{y=-\dfrac{1}{4}x+1}\ \vee\ \boxed{y=\dfrac{1}{4}x+5}[/tex]
Przekształćmy do postaci ogólnej:
[tex]y=-\dfrac{1}{4}x+1\qquad|+\dfrac{1}{4}x-1\\\\\dfrac{1}{4}x+y-1=0\qquad|\cdot4\\\\\huge\boxed{x+4y-4=0}\\\\\vee\\\\y=\dfrac{1}{4}x+5\qquad|-\dfrac{1}{4}x-5\\\\-\dfrac{1}{4}x+y-5=0\qquad|\cdot(-4)\\\\\huge\boxed{x-4y+20=0}[/tex]