Odpowiedź:
a) TAK
b) NIE
c) TAK
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym to iloraz następnego wyrazu ciągu przez poprzedni jest stały.
W każdym z ciągów budujemy kolejny wyraz aₙ₊₁ i sprawdzamy iloraz aₙ₊₁/aₙ.
[tex]a)\\a_n=-2\cdot3^{2n-1}\\\\a_{n+1}=-2\cdot3^{2(n+1)-1}=-2\cdot3^{2n+2-1}=-2\cdot3^{2n+1}\\\\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{-2\!\!\!\!\diagup\cdot3^{2n+1}}{-2\!\!\!\!\diagup\cdot3^{2n-1}}=3^{2n+1-(2n-1)}=3^{2n+1-2n+1}=3^2=9=\bold{const.}[/tex]
skorzystaliśmy z twierdzenia:
[tex]\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m};\ a\neq0[/tex]
Odp: Tak, jest to ciąg geometryczny.
[tex]b)\\a_n=3^n+5^n\\\\a_{n+1}=3^{n+1}+5^{n+1}\\\\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{3^{n+1}+5^{n+1}}{3^n+5^n}=\dfrac{3\cdot3^n+5\cdot5^n}{3^n+5^n}=\dfrac{3\cdot3^n+3\cdot5^n+2\cdot5^n}{3^n+5^n}\\\\=\dfrac{3\cdot(3^n+5^n)}{3^n+5^n}+\dfrac{2\cdot5^n}{3^n+5^n}=3+\dfrac{2\cdot5^n\!\!\!\!\!\!\!\diagup}{5^n\!\!\!\!\!\!\!\diagup\cdot\left(\frac{3^n}{5^n}+1\right)}=3+\dfrac{2}{\left(\frac{3}{5}\right)^n+1}\neq\bold{const.}[/tex]
skorzystaliśmy z twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
oraz z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania:
[tex]a(b+c)=ab+ac[/tex]
Odp: Nie, to nie jest ciąg geometryczny.
[tex]c)\\a_n=2^{n-1}+2^n+2^{n+1}=2^n:2+2^n+2\cdot2^n=\dfrac{1}{2}\cdot2^n+2^n+2\cdot2^n=3\dfrac{1}{2}\cdot2^n\\\\a_{n+1}=3\dfrac{1}{2}\cdot2^{n+1}\\\\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{3\frac{1}{2}\cdot2^{n+1}}{3\frac{1}{2}\cdot2^n}=2^{n+1-n}=2^1=2=\bold{const.}[/tex]
skorzystaliśmy z twierdzeń:
[tex]a^n:a^m=a^{n-m};\ a\neq0\\\\a^n\cdota^m=a^{n+m}[/tex]
Odp: Tak, jest to ciąg geometryczny.
